Решите уравнение. все возможные корни. скорее всего они будут "некрасивые". x4+x^(x*sqrt(2))+1=0

Пусть 
Рассмотри сначала первую (степенную функцию).
График этой функции расположен ниже оси Ox, причём y = -1 - наибольшее её значение.
Теперь рассмотрим показательную функцию. График этой функции расположен выше оси Ox, т.к. x > 0 (основание не может быть меньше нуля). 
Таким образом, графики функций не пересекаются, значит, корней нет.
ответ: нет корней.