Синтегралом , как его решить с замены cos²x=t?

∫

sin

3

(

2

x

)

d

x

Пусть

u

1

=

2

x

. Тогда

d

u

1

=

2

d

x

, следовательно

1

2

d

u

1

=

d

x

. Переписать, используя

u

1

и

d

u

1

.

∫

sin

3

(

u

1

)

1

2

d

u

1

Обьединяем

sin

3

(

u

1

)

и

1

2

.

∫

sin

3

(

u

1

)

2

d

u

1

Поскольку

1

2

является константой по отношению к

u

1

, вынесем

1

2

из интеграла.

1

2

∫

sin

3

(

u

1

)

d

u

1

Выносим за скобки

sin

2

(

u

1

)

.

1

2

∫

sin

2

(

u

1

)

sin

(

u

1

)

d

u

1

Используя формулу Пифагора, запишем

sin

2

(

u

1

)

в виде

1−cos2(u1) 12∫(1−cos2(u1))sin(u1)du1

Пусть u2=cos(u1)

Тогда du2=−sin(u1)du1

следовательно

−1sin(u1)du2=du1

Переписать, используя u2

и du2.

12∫−1+u22du2

Разложим интеграл на несколько интегралов.

12(∫−1du2+∫u22du2)

Поскольку

−1

является константой по отношению к

u2

, вынесем

−1

из интеграла.

12(−u2+C+∫u22du2)

По правилу дифференцирования функции, интегралом от

u22

относительно

u2

является 13u23.12(−u2+C+13u23+C)

Упростим.

12(−u2+13u23)+C

12(−cos(2x)+13cos3(2x))+C

Упростим ответ.

−cos(2x)2+cos3(2x)6+C

Изменим порядок членов.−12cos(2x)+16cos3(2x)+C