Случайные величины X и Y независимы и имеют биномиальные распределения с параметрами = 20 и = 0,3 для величины X и = 30 и = 0,2 для величины Y . Найти математическое ожидание и дисперсию величины = 2 − .
У нас есть две независимые случайные величины X и Y, которые имеют биномиальные распределения.
Для величины X у нас есть параметры n = 20 (количество испытаний) и p = 0,3 (вероятность успеха в каждом испытании).
Аналогично, для величины Y у нас есть параметры n = 30 (количество испытаний) и p = 0,2 (вероятность успеха в каждом испытании).
Теперь нам нужно найти математическое ожидание и дисперсию для величины Z = 2X - Y.
1. Математическое ожидание:
Мы знаем, что математическое ожидание для биномиально распределенной случайной величины с параметрами n и p вычисляется по формуле: E(X) = n * p.
Таким образом, E(X) = 20 * 0,3 = 6.
Теперь рассмотрим вторую величину Y. Ее математическое ожидание также будет E(Y) = n * p = 30 * 0,2 = 6.
И теперь, используя эти значения, мы можем найти математическое ожидание Z.
E(Z) = 2 * E(X) - E(Y) = 2 * 6 - 6 = 12 - 6 = 6.
Таким образом, математическое ожидание величины Z равно 6.
2. Дисперсия:
Дисперсия для биномиально распределенной случайной величины с параметрами n и p вычисляется по формуле: Var(X) = n * p * (1 - p).
У нас есть две независимые случайные величины X и Y, которые имеют биномиальные распределения.
Для величины X у нас есть параметры n = 20 (количество испытаний) и p = 0,3 (вероятность успеха в каждом испытании).
Аналогично, для величины Y у нас есть параметры n = 30 (количество испытаний) и p = 0,2 (вероятность успеха в каждом испытании).
Теперь нам нужно найти математическое ожидание и дисперсию для величины Z = 2X - Y.
1. Математическое ожидание:
Мы знаем, что математическое ожидание для биномиально распределенной случайной величины с параметрами n и p вычисляется по формуле: E(X) = n * p.
Таким образом, E(X) = 20 * 0,3 = 6.
Теперь рассмотрим вторую величину Y. Ее математическое ожидание также будет E(Y) = n * p = 30 * 0,2 = 6.
И теперь, используя эти значения, мы можем найти математическое ожидание Z.
E(Z) = 2 * E(X) - E(Y) = 2 * 6 - 6 = 12 - 6 = 6.
Таким образом, математическое ожидание величины Z равно 6.
2. Дисперсия:
Дисперсия для биномиально распределенной случайной величины с параметрами n и p вычисляется по формуле: Var(X) = n * p * (1 - p).
Поэтому Var(X) = 20 * 0,3 * (1 - 0,3) = 20 * 0,3 * 0,7 = 4,2.
Аналогично, дисперсия для величины Y будет Var(Y) = 30 * 0,2 * (1 - 0,2) = 30 * 0,2 * 0,8 = 4,8.
Используя эти значения, можно вычислить дисперсию для величины Z.
Var(Z) = (2^2) * Var(X) + (-1^2) * Var(Y) = 4 * 4,2 + 1 * 4,8 = 16,8 + 4,8 = 21,6.
Таким образом, дисперсия величины Z равна 21,6.
Итак, мы нашли математическое ожидание и дисперсию для величины Z: E(Z) = 6 и Var(Z) = 21,6.