Добрый день! Давайте разберемся с вашим вопросом.
Чтобы составить уравнение касательной к гиперболе, параллельной прямой, мы должны использовать следующие шаги:
Шаг 1: Найдем уравнение гиперболы.
Дано уравнение гиперболы: x^2 /16 - y^2 /64 = 1.
Шаг 2: Найдем производные функции.
Для нахождения уравнения касательной нам потребуется найти производные функции, которые входят в уравнение гиперболы. Возьмем производную от левой и правой частей уравнения:
d/dx (x^2 /16 - y^2 /64) = d/dx (1)
Шаг 3: Выполним дифференцирование.
Дифференцируем каждое слагаемое по отдельности:
(1/16) * d/dx (x^2) - (1/64) * d/dx (y^2) = 0
Выполняем дифференцирование:
(2/16) * x - (2/64) * y * d/dx (y) = 0
Шаг 4: Выражаем d/dx (y).
Теперь выразим d/dx (y) из последнего уравнения:
(2/16) * x - (2/64) * y * d/dx (y) = 0
-(2/64) * y * d/dx (y) = -(2/16) * x
Делим обе части уравнения на -(2/64) * y:
d/dx (y) = (2/16) * x / (2/64) * y
Приводим дробь к более удобному виду:
d/dx (y) = (8/16) * x / y
Упрощаем дробь:
d/dx (y) = (1/2) * x / y
Шаг 5: Подставляем значения.
Теперь мы можем подставить значения из уравнения гиперболы и получить выражение для производной d/dx (y):
(1/2) * x / y = (1/2) * x / sqrt(16 + (x/4)^2)
Обратите внимание, что мы использовали тождество иррациональности sqrt(a^2 + b^2) = sqrt(a^2 + b^2).
Шаг 6: Найдем наклон прямой.
Мы знаем, что искомая касательная к гиперболе параллельна прямой 10x - 3y + 9 = 0. Получим уравнение данной прямой в виде y = mx + c:
-3y = -10x - 9
Умножим все слагаемые на (-1/3):
y = (10/3)x + (9/3)
y = (10/3)x + 3
Теперь мы знаем, что наклон прямой равен 10/3.
Шаг 7: Составим уравнение касательной.
Учитывая, что наклон касательной равен d/dx (y), и он также равен 10/3, мы можем записать следующее уравнение:
(1/2) * x / sqrt(16 + (x/4)^2) = 10/3
Теперь оставшийся шаг - решить это уравнение относительно x.
Это уравнение является нелинейным, поэтому для его решения мы должны применить методы численного анализа или аппроксимации. В общем случае это довольно сложная задача.
