Для начала, нам необходимо найти наибольшее значение функции на промежутке p1 и наименьшее значение функции на промежутке p2 для данной функции f(x)=x⁴-2x²+4.
1. Исследуем промежуток p1=[-1/2; 1/2]:
a. Найдем значения функции на границах промежутка:
i. Для x = -1/2: f(-1/2) = (-1/2)⁴-2(-1/2)²+4 = (1/16) - 1/2 + 4 = 4 - 1/2 + 4 = 7.5 (см. пошаговое решение ниже).
ii. Для x = 1/2: f(1/2) = (1/2)⁴-2(1/2)²+4 = 1/16 - 1/2 + 4 = 1/16 - 8/16 + 64/16 = 57/16 (см. пошаговое решение ниже).
b. Найдем значения функции на внутренних точках промежутка:
i. Для x = 0: f(0) = 0⁴-2(0)²+4 = 0 - 0 + 4 = 4.
Следовательно, наибольшее значение функции на промежутке p1 равно 7.5 (достигается в точке x = -1/2), а наименьшее значение функции на промежутке p1 равно 4 (достигается в точке x = 0).
2. Исследуем промежуток p2=[2; 3]:
a. Найдем значения функции на границах промежутка:
i. Для x = 2: f(2) = 2⁴-2(2)²+4 = 16 - 8 + 4 = 12.
ii. Для x = 3: f(3) = 3⁴-2(3)²+4 = 81 - 18 + 4 = 67 (см. пошаговое решение ниже).
b. Найдем значения функции на внутренних точках промежутка:
i. Для x = 2.5: f(2.5) = 2.5⁴-2(2.5)²+4 = 39.0625 - 12.5 + 4 = 30.5625 (см. пошаговое решение ниже).
Следовательно, наибольшее значение функции на промежутке p2 равно 67 (достигается в точке x = 3), а наименьшее значение функции на промежутке p2 равно 12 (достигается в точке x = 2).
Пошаговое решение для промежутка p1=[-1/2; 1/2]:
f(x)=x⁴-2x²+4
1. Исследуем промежуток p1=[-1/2; 1/2]:
a. Найдем значения функции на границах промежутка:
i. Для x = -1/2: f(-1/2) = (-1/2)⁴-2(-1/2)²+4 = (1/16) - 1/2 + 4 = 4 - 1/2 + 4 = 7.5 (см. пошаговое решение ниже).
ii. Для x = 1/2: f(1/2) = (1/2)⁴-2(1/2)²+4 = 1/16 - 1/2 + 4 = 1/16 - 8/16 + 64/16 = 57/16 (см. пошаговое решение ниже).
b. Найдем значения функции на внутренних точках промежутка:
i. Для x = 0: f(0) = 0⁴-2(0)²+4 = 0 - 0 + 4 = 4.
Следовательно, наибольшее значение функции на промежутке p1 равно 7.5 (достигается в точке x = -1/2), а наименьшее значение функции на промежутке p1 равно 4 (достигается в точке x = 0).
2. Исследуем промежуток p2=[2; 3]:
a. Найдем значения функции на границах промежутка:
i. Для x = 2: f(2) = 2⁴-2(2)²+4 = 16 - 8 + 4 = 12.
ii. Для x = 3: f(3) = 3⁴-2(3)²+4 = 81 - 18 + 4 = 67 (см. пошаговое решение ниже).
b. Найдем значения функции на внутренних точках промежутка:
i. Для x = 2.5: f(2.5) = 2.5⁴-2(2.5)²+4 = 39.0625 - 12.5 + 4 = 30.5625 (см. пошаговое решение ниже).
Следовательно, наибольшее значение функции на промежутке p2 равно 67 (достигается в точке x = 3), а наименьшее значение функции на промежутке p2 равно 12 (достигается в точке x = 2).
Пошаговое решение для промежутка p1=[-1/2; 1/2]:
f(x)=x⁴-2x²+4
Для x = -1/2:
f(-1/2) = (-1/2)⁴-2(-1/2)²+4
= (1/16) - 1/2 + 4
= 4 - 1/2 + 4
= 8 - 1/2
= 7.5
Для x = 1/2:
f(1/2) = (1/2)⁴-2(1/2)²+4
= 1/16 - 1/2 + 4
= 1/16 - 8/16 + 64/16
= 57/16
Для x = 0:
f(0) = 0⁴-2(0)²+4
= 0 - 0 + 4
= 4
Пошаговое решение для промежутка p2=[2; 3]:
f(x)=x⁴-2x²+4
Для x = 2:
f(2) = 2⁴-2(2)²+4
= 16 - 8 + 4
= 12
Для x = 3:
f(3) = 3⁴-2(3)²+4
= 81 - 18 + 4
= 67
Для x = 2.5:
f(2.5) = 2.5⁴-2(2.5)²+4
= 39.0625 - 12.5 + 4
= 30.5625