Температура нагретой жидкости за шесть минут остывания изменилась на «-24»
градуса. На сколько градусов изменяется
температура нагретой жидкости за одну
минуту?
​

Тот же результат, что умножение 1999 на число из 1999 единиц,
можно получить так:
1) умножаем число из 1999 единиц на 2000;
2) из полученного числа вычитаем число из 1999 единиц.

После первой операции получается число, имеющее вид
222222...2222000 (здесь 1999 раз повторяется 2, всего знаков 2002)

Вторая операция выглядит так (изображаем это в столбик) :
222222...2222000 (1)
-
111...1111111 (2)

222111...1110889 (3)

В строке (1) - (1999 раз повторяется 2, всего знаков 2002)
В строке (2) - (1999 раз повторяется 1)
В строке (3) - (2002-7 раз повторяется 1, всего знаков 2002)

Получаем, что сумма цифр в результате - это строка (3)
п = 2*3 + 1*(2002-7)+8+8+9 = 2026

ответ: сумма цифр = 2026

Пусть выпуклый многогранник имеет f граней, k ребер и е вершин. Отделив от него какую-нибудь грань, получим многогранную поверхность Р1. Отделив от P1 грань, прилежащую к его краю, получим многогранную поверхность Р2. Продолжая этот процесс, получим через s шагов

поверхность Ps с числом

граней fs, ребер ks и вершин es.

Докажем индукцией по числу граней, равному

что

(1)

При

(то есть s = f— 1) равенство (1) верно, так как тогда

откуда

Пусть (1) верно для

, докажем (1) для

Разрежем

по ломаной, соединяющей две вершины, лежащие

на краю, образованной ребрами и не пересекающей себя. Получим поверхности

соответственно с

гранями,

ребрами,

вершинами. Так как

то

(2)

(3)

Пусть n — число ребер разреза; тогда число его вершин n + 1. Если сосчитать число ребер или вершин на

и результаты сложить, то каждое ребро или вершина разреза будут сосчитаны дважды; поэтому

кроме

того,

Тогда, складывая (2) и (3), получим

то есть

и (1)

доказано для

Тем самым (1) верно для любого fs.

В частности, при

(то есть при s=1) имеем

так как

то