Заметим, что если x - корень уравнения, то и -x - корень уравнения. Так как корень уравнения должен быть всего один, то это x = 0. Подставляем: 0 + (a + 4)^2 = |0 - 4 - a| + |0 + a + 4| (a + 4)^2 = 2|a + 4| |a + 4|^2 - 2|a + 4| = 0 |a + 4| * (|a + 4| - 2) = 0 |a + 4| = 0 или |a + 4| = 2 a = -4 или a = -6 или a = -2
Проверяем, что при таких значениях a действительно получается один корень. 1) a = -4. x^2 = 2|x| - есть не только корень x = 0, но и x = +-2, не подходит 2) a = -6, a = -2 x^2 + 4 = |x + 2| + |x - 2| Если -2 <= x <= 2, то уравнение равносильно такому: x^2 + 4 = 4, корень x = 0 Если |x| > 2, то уравнение получается таким: x^2 + 4 = 2|x|, у этого уравнения нет корней. Итого, при таких a получается единственный корень.
Заметим, что если x - корень уравнения, то (-x) - тоже корень. Чтобы корней получилось нечетное число, один из корней должен быть нулем. Подставляем x = 0:
Проверяем, удовлетворяют ли условию найденные a. Для этого достаточно проверить, что при подстановке найденных a уравнение имеет ровно один положительный корень.
1) a = -1:
Рассмотрим функцию . Её производная принимает неотрицательные значения при и неположительные значения при . Значит, график функции f(x) при x > 0 выглядит примерно так, как изображено на рисунке: при x, близких к 0, значение близко к 0, затем убывание, в точке принимается минимальное значение , потом неограниченное возрастание.
Значит, у уравнения есть два положительных корня, не подходит.
2) a = 0: аналогично, можно свести к уравнению f(x) = 0, у него один положительный корень x = 1. Подходит!
3) a = 2: аналогично, сводится к уравнению . У этого уравнения тоже только один положительный корень .
0 + (a + 4)^2 = |0 - 4 - a| + |0 + a + 4|
(a + 4)^2 = 2|a + 4|
|a + 4|^2 - 2|a + 4| = 0
|a + 4| * (|a + 4| - 2) = 0
|a + 4| = 0 или |a + 4| = 2
a = -4 или a = -6 или a = -2
Проверяем, что при таких значениях a действительно получается один корень.
1) a = -4.
x^2 = 2|x| - есть не только корень x = 0, но и x = +-2, не подходит
2) a = -6, a = -2
x^2 + 4 = |x + 2| + |x - 2|
Если -2 <= x <= 2, то уравнение равносильно такому: x^2 + 4 = 4, корень x = 0
Если |x| > 2, то уравнение получается таким: x^2 + 4 = 2|x|, у этого уравнения нет корней.
Итого, при таких a получается единственный корень.
ответ. a = -6 или a = -2.
Пошаговое объяснение:
Заметим, что если x - корень уравнения, то (-x) - тоже корень. Чтобы корней получилось нечетное число, один из корней должен быть нулем. Подставляем x = 0:
Проверяем, удовлетворяют ли условию найденные a. Для этого достаточно проверить, что при подстановке найденных a уравнение имеет ровно один положительный корень.
1) a = -1:
Рассмотрим функцию
. Её производная 
принимает неотрицательные значения при 
и неположительные значения при 
. Значит, график функции f(x) при x > 0 выглядит примерно так, как изображено на рисунке: при x, близких к 0, значение близко к 0, затем убывание, в точке 
принимается минимальное значение 
, потом неограниченное возрастание.
Значит, у уравнения
есть два положительных корня, не подходит.
2) a = 0: аналогично, можно свести к уравнению f(x) = 0, у него один положительный корень x = 1. Подходит!
3) a = 2: аналогично, сводится к уравнению
. У этого уравнения тоже только один положительный корень 
.