Вася играет сам с собой в игру. вначале он пишет на доске положительное число (не обязательно целое). за один ход он может стереть наименьшее число (одно из наименьших, если их несколько), разбить его на два положительных
слагаемых х и у и записать на доску два числа 2; г и 3; у (например, стерев число 3, можно записать '2 и 6, что соответствует х = 1, у = 2). может ли вася добиться того, чтобы в тот момент, когда на доске окажутся 2011 чисел, все они были
равны единице?

Показать ответ

Ответ:

niloybasak0

23.05.2020 17:18

Вася стирает число a=x+y

вместо него он получит два числа 2x и 3y, сумма которых

2x+3y=2x+2y+y=2(x+y)+y=2a+y>2a (y>0)

то есть делая ход Вася увеличивает сумму уже имеющихся у него чисел на число большее числа которое он стирает

(сумма чисел возрастает на удвоенное число которое Вася стирает плюс еще какоето положительное число)

если он дошел до момента что у него 2010 чисел

1) среди них есть хотя бы не одна единица - число А,

А>1, он стирает одну из 1 так как она меньше числа А

и у него в лучшем случае стает 2009-1+2=2010 единиц, а надо 2011

2) все 2010 полученных чисел 1, тогда он стирает одну из единиц, а сумма всех чисел возрастет больше чем на две единицы(см. выше), и сумма окажется больше 2011=1+1+1+...1 (2011 раз)

3) пусть среди 2010 чисел двое чисел хотя бы меньше 1, тогда стерев одно из них, на следующем ходу у него останется одна не 1

3) (2009 единиц и число 5\6)

пусть среди 2010 чисел только одно из чисел B<1, остальные 2009 чисел - единицы, тогда ему нужно разбить число В на два числа так, чтобы и число "2x" и "3y" (B=x+y)

были равны 1 но тогда число х=1\2 а число y=1\3

значит число В=1\2+1\3=5\6

очевидно, что на предыдущем ходу он получил 1 и число В=5\6

(5\6 меньше 1, и он бы должен был стирать 5\6 если бы оно появилось раньше, а не одну из 1, других чисел у него нет)

на предыдущем ходе

у него было 2008 единиц и какоето число С, из которого он получил 1 и 5\6

так как он стер число С, то оно меньше или равно1

если С=1, то 1=x+y

и 2x=1 3y=5\6 (x=1\2 y=5\18 и тогда x+y не равно 1)

или 3x=1 2y=5\6 (x=1\3 y=5\12 и тогда x+y не равно 1).

если С<1, то x+y=C<1

и 2x=1 3y=5\6 (x=1\2 y=5\18 C=14\18=7\9)