Вдоль прямой тропинки с интервалом 10 м растут ёлки. На каждую ёлку село по сороке. Сороки могут перелетать с ёлки на ёлку, при этом, если какая-то
сорока перелетает с одной ёлки на другую, то какая-то другая сорока обязательно перелетает с какой-то ёлки на другую на столько же метров, но в обратном
направлении. Могут ли все сороки собраться на одной ёлке, если
а) ёлок 7; б) ёлок 6?

ответ:

да

пошаговое объяснение:

поскольку 1^3 + 2^3 + 3^3 = 36 делится на 9, то для n = 1 утверждение верно.  

предположим, что оно верно для n = k, то есть k^3 + (k + 1)^3 + (k + 2)^3 = 9m для некоторого натурального числа m. нам нужно доказать для n = k + 1.  

но действительно,  

(k + 1)^3 + (k + 2)^3 + (k + 3)^3 = (k + 1)^3 + (k + 2)^3 + k^3 + 27k + 9k2 + 27 =  

= 9m + 27k + 9k2 + 27 = 9(m + 3k + k2 + 3)  

делится на 9, и мы заключаем, что утверждение верно для любого n.

ответ:

пошаговое объяснение: начала нужно вычислить производную функции:

f'(x)=(7+15x2x)'=(7x+15x)'=15−7x2

затем нужно определить её интервалы монотонности, принимая во внимание, что в точке x=0 функция не определена.

f'(x)=15−7x2=15x2−7x2=(x+715−−−√)(x−715−−−√)x2

графиком функции y=15x2−7 является парабола, ветви которой направлены вверх. парабола пересекает ось x в точках x=−715−−−√ и x=715−−−√ (на рисунке отмечены закрашенными точками).  

знаменатель не влияет на знак дроби, в точке x=0 производная не определена (на рисунке отмечено незакрашенной точкой).