Для восстановления аналитической функции f(z)=u(x,y)+iv(x,y) по заданной действительной или мнимой части u(x,y)=x^2-y^2-xy, мы должны воспользоваться условиями Коши-Римана.
Условия Коши-Римана гласят, что если функция f(z)=u(x,y)+iv(x,y) является аналитической, то ее частные производные по x и y должны удовлетворять следующим соотношениям:
∂u/∂x = ∂v/∂y
∂u/∂y = -∂v/∂x
Давайте воспользуемся этими условиями для нашей функции:
Для начала, найдем частные производные функции u(x,y):
∂u/∂x = ∂/∂x (x^2-y^2-xy) = 2x-y
∂u/∂y = ∂/∂y (x^2-y^2-xy) = -2y-x
Теперь применяем условия Коши-Римана:
2x-y = ∂v/∂y (1)
-2y-x = -∂v/∂x (2)
Используя первое уравнение (1), можем выразить ∂v/∂y:
∂v/∂y = 2x-y
Далее, интегрируем это уравнение по y для нахождения функции v(x,y):
v(x,y) = ∫(2x-y)dy = 2xy-y^2 + C(x) (3)
где C(x) - произвольная функция от x.
Теперь, используя второе уравнение (2), можем выразить -∂v/∂x:
-∂v/∂x = -2y-x
Для этого уравнения, интегрируем его по x для нахождения функции v(x,y):
v(x,y) = ∫(-2y-x)dx = -2xy - 0.5x^2 + C(y) (4)
где C(y) - новая произвольная функция от y.
Из уравнений (3) и (4) следует, что C(x) должна быть равна - 0.5x^2, а C(y) должна быть равна у -y^2.
Таким образом, функция v(x,y) может быть записана как:
v(x,y) = 2xy-y^2 - 0.5x^2
Теперь, чтобы восстановить аналитическую функцию f(z), мы можем записать:
Итак, мы восстановили аналитическую функцию f(z) по известной действительной части u(x,y)=x^2-y^2-xy, которая имеет вид:
f(z) = x^2-y^2-xy + i(2xy-y^2-0.5x^2)
Этот ответ также подтверждается условиями Коши-Римана, т.к. полученные частные производные u(x,y) совпадают с выражением функции v(x,y), и условия Коши-Римана выполняются.
Условия Коши-Римана гласят, что если функция f(z)=u(x,y)+iv(x,y) является аналитической, то ее частные производные по x и y должны удовлетворять следующим соотношениям:
∂u/∂x = ∂v/∂y
∂u/∂y = -∂v/∂x
Давайте воспользуемся этими условиями для нашей функции:
Для начала, найдем частные производные функции u(x,y):
∂u/∂x = ∂/∂x (x^2-y^2-xy) = 2x-y
∂u/∂y = ∂/∂y (x^2-y^2-xy) = -2y-x
Теперь применяем условия Коши-Римана:
2x-y = ∂v/∂y (1)
-2y-x = -∂v/∂x (2)
Используя первое уравнение (1), можем выразить ∂v/∂y:
∂v/∂y = 2x-y
Далее, интегрируем это уравнение по y для нахождения функции v(x,y):
v(x,y) = ∫(2x-y)dy = 2xy-y^2 + C(x) (3)
где C(x) - произвольная функция от x.
Теперь, используя второе уравнение (2), можем выразить -∂v/∂x:
-∂v/∂x = -2y-x
Для этого уравнения, интегрируем его по x для нахождения функции v(x,y):
v(x,y) = ∫(-2y-x)dx = -2xy - 0.5x^2 + C(y) (4)
где C(y) - новая произвольная функция от y.
Из уравнений (3) и (4) следует, что C(x) должна быть равна - 0.5x^2, а C(y) должна быть равна у -y^2.
Таким образом, функция v(x,y) может быть записана как:
v(x,y) = 2xy-y^2 - 0.5x^2
Теперь, чтобы восстановить аналитическую функцию f(z), мы можем записать:
f(z) = u(x,y) + iv(x,y) = x^2-y^2-xy + i(2xy-y^2-0.5x^2)
Итак, мы восстановили аналитическую функцию f(z) по известной действительной части u(x,y)=x^2-y^2-xy, которая имеет вид:
f(z) = x^2-y^2-xy + i(2xy-y^2-0.5x^2)
Этот ответ также подтверждается условиями Коши-Римана, т.к. полученные частные производные u(x,y) совпадают с выражением функции v(x,y), и условия Коши-Римана выполняются.