1) Найти ООФ 2) Если есть точки разрыва, исследовать их Эти 2 вопроса практически совпадают, так как ООФ включает точки разрыва: Если переменная в знаменателе, то есть точки разрыва при знаменателе, равном 0. 5 - 3х² = 0, х = +-√(5/3), значит, точки разрыва х₁ = -√(5/3) = -1.290994, х₂ = √(5/3) = 1.290994. То есть график функции разбит на 3 участка: первый от-∞ до -√(5/3), второй от-√(5/3) до √(5/3), третий от √(5/3) до +∞.
3) Найти точки пересечения с осями координат: С осью У при Х = 0 у = х³ - 5х = 0, Отсюда одно значение у = 0. С осью Х при У = 0 Дробь равна 0, когда числитель равен 0 х³ - 5х = 0, х(х² - 5) = 0 х₁ = 0, х = +-√5, х₂ = -√5 = -2.2360679, х₃ = √5 = 2.2360679.
4) Вычислить чётность/нечётность: f(-x) = ((-x)³ - 5(-x)) / (5 - 3(-x)) = -(x³ - 5x) / (5 - 3x²). То есть f(-x) = -f(x). Значит, функция нечётная.
5) Выяснить периодичность - нет периодичности.
6) Найти производную, промежутки монотонности функции, экстремумы: Производная\:частного: После подстановки получаем Знаменатель производной в квадрате всегда положителен. В числителе переменная в чётной степени, а выражения с минусом. Значит, на каждом промежутке функции она убывающая. Производная не может быть равна 0 (из за наличия переменной в знаменателе), поэтому у функции нет ни максимума, ни минимума.
7) Найти промежутки выпуклости, вогнутости, вторую производную и точки перегиба: для этого надо найти вторую производную: – если вторая производная меньше 0 на интервале, то график функции является выпуклым на данном интервале;– если вторая производная больше 0 на интервале, то график функции является вогнутым на данном интервале. Вторая производная равна: Нулю может быть равна только при х = 0. Это одна точка перегиба. В точках разрыва функция меняет выпуклость на вогнутость, но это не считается точкой перегиба, так как функция в этих точках не определена.
8) Асимптоты графика функции (y=kx+b) Есть 2 вертикальные асимптоты в точках разрыва х₁ = -√(5/3) и х₂ = √(5/3). уравнение наклонной асимптоты слева: y = -х / 3, справа уравнение наклонной асимптоты такое же: y = -х / 3.
2) Если есть точки разрыва, исследовать их
Эти 2 вопроса практически совпадают, так как ООФ включает точки разрыва:
Если переменная в знаменателе, то есть точки разрыва при знаменателе, равном 0.
5 - 3х² = 0,
х = +-√(5/3),
значит, точки разрыва х₁ = -√(5/3) = -1.290994, х₂ = √(5/3) = 1.290994.
То есть график функции разбит на 3 участка:
первый от-∞ до -√(5/3),
второй от-√(5/3) до √(5/3),
третий от √(5/3) до +∞.
3) Найти точки пересечения с осями координат:
С осью У при Х = 0
у = х³ - 5х = 0,
Отсюда одно значение у = 0.
С осью Х при У = 0
Дробь равна 0, когда числитель равен 0
х³ - 5х = 0,
х(х² - 5) = 0
х₁ = 0,
х = +-√5,
х₂ = -√5 = -2.2360679,
х₃ = √5 = 2.2360679.
4) Вычислить чётность/нечётность:
f(-x) = ((-x)³ - 5(-x)) / (5 - 3(-x)) = -(x³ - 5x) / (5 - 3x²).
То есть f(-x) = -f(x).
Значит, функция нечётная.
5) Выяснить периодичность - нет периодичности.
6) Найти производную, промежутки монотонности функции, экстремумы:
Производная\:частного:
После подстановки получаем
Знаменатель производной в квадрате всегда положителен.
В числителе переменная в чётной степени, а выражения с минусом.
Значит, на каждом промежутке функции она убывающая.
Производная не может быть равна 0 (из за наличия переменной в знаменателе), поэтому у функции нет ни максимума, ни минимума.
7) Найти промежутки выпуклости, вогнутости, вторую производную и точки перегиба:
для этого надо найти вторую производную:
– если вторая производная меньше 0 на интервале, то график функции является выпуклым на данном интервале;– если вторая производная больше 0 на интервале, то график функции является вогнутым на данном интервале.
Вторая производная равна:
Нулю может быть равна только при х = 0.
Это одна точка перегиба.
В точках разрыва функция меняет выпуклость на вогнутость, но это не считается точкой перегиба, так как функция в этих точках не определена.
8) Асимптоты графика функции (y=kx+b)
Есть 2 вертикальные асимптоты в точках разрыва х₁ = -√(5/3) и х₂ = √(5/3).
уравнение наклонной асимптоты слева: y = -х / 3,
справа уравнение наклонной асимптоты такое же: y = -х / 3.
9) Построить график. Смотри приложение.
ДАНО
Y(x) = - x⁴ + x³
ИССЛЕДОВАНИЕ
1.Область определения D(x) - Х∈(-∞;+∞) - непрерывная.
Вертикальной асимптоты нет.
2. Пересечение с осью Х. Y=0 при х = 0.
???Положительна - X∈(-∞;-√3)∪(0;√3), отрицательна - X∈(-√3;0)∪(√3;+∞).
3. Пересечение с осью У. У(0) = 0.
4. Поведение на бесконечности.limY(-∞) = - ∞ limY(+∞) = -∞
Горизонтальной асимптоты нет.
5. Исследование на чётность.Y(-x) ≠ - Y(x).
Функция ни чётная нинечётная.
6. Производная функции.Y'(x)= -4*x³ +3*x² = x²*(3/4 - x²) = 0.
Корни: x1= 0, x2 = - 3/4, x3 = 3/4
7. Локальные экстремумы.
Максимум Ymax(3/4)= 27/256, минимум – Ymin(0)=0.
8. Интервалы возрастания и убывания.
Возрастает - Х∈(-∞;3/4], убывает = Х∈[3/4;+∞).
8. Вторая производная - Y"(x) = -12*x² +6*x=0.
Корни производной - точки перегиба - х1 = 0, х2 = 1/2.
9. Выпуклая “горка» Х∈(-∞; 1/2), Вогнутая – «ложка» Х∈[1/2;+∞).
10. Наклонной асимптоты - нет.
lim(+∞)Y(x)/x = -4*x² + 3x = +∞ - нет
10. График в приложении.