Войти
Регистрация
Спроси ai-bota
В
Все
М
Математика
О
ОБЖ
У
Українська мова
Х
Химия
Д
Другие предметы
Н
Немецкий язык
Б
Беларуская мова
М
Музыка
Э
Экономика
Ф
Физика
Б
Биология
О
Окружающий мир
У
Українська література
Р
Русский язык
Ф
Французский язык
П
Психология
О
Обществознание
А
Алгебра
М
МХК
Г
География
И
Информатика
П
Право
А
Английский язык
Г
Геометрия
Қ
Қазақ тiлi
Л
Литература
И
История
Показать больше
Показать меньше
fkffjfjfjfj
18.03.2021 13:41 •
Математика
Вправильной четырехугольной пирамиде высота составляет h, а боковое ребро - b. найдите радиус оисанной сферы
Показать ответ
Ответ:
Pilulkin112
24.07.2020 16:30
Правильная 4-угольная пирамида имеет в основании квадрат.
Высота пирамиды h, половина диагонали d/2 основания и боковое ребро b образуют прям-ный тр-ник, в котором боковое ребро - это гипотенуза.
(d/2)^2 = b^2 - h^2
d = 2√(b^2 - h^2)
Теперь проведем сечение пирамиды через диагональ перпендикулярно к основанию. Получим равнобедренный тр-ник и описанную окружность.
Смотри рисунок.
У равнобедренного треугольника основание d и боковые стороны b.
Радиус описанной окружности можно найти из теоремы косинусов.
{ b^2 = R^2 + R^2 - 2*R*R*cos BOC = R^2*(2 - 2cos BOC)
{ d^2 = R^2 + R^2 - 2*R*R*cos AOB = R^2*(2 - 2cos AOB)
При этом углы AOC = BOC, AOB = 360 - 2*BOC
{ R^2 = b^2/(2 - 2cos BOC)
{ R^2 = d^2/(2 - 2cos AOB) = 4(b^2 - h^2)/(2 - 2cos(360 - 2*BOC))
Приравниваем правые части
b^2/(2 - 2cos BOC) = 2(b^2 - h^2)/(1 - cos (2*BOC))
cos (2*BOC) = 2cos^2 BOC - 1;
1 - cos (2*BOC) = 2 - 2cos^2 BOC
Здесь неизвестное - cos BOC, заменим его на x
Получаем из пропорции
b^2*(2 - 2x^2) = 2(b^2 - h^2)*(2 - 2x)
b^2*(1 - x^2) = 2(b^2 - h^2)*(1 - x)
b^2 - b^2*x^2 = 2b^2 - 2h^2 - 2(b^2 - h^2)*x
Получили квадратное уравнение
b^2*x^2 - 2(b^2 - h^2)*x + (b^2 - 2h^2) = 0
D/4 = (b^2 - h^2)^2 - b^2*(b^2 - 2h^2) =
= b^4 - 2b^2*h^2 + h^4 - b^4 + 2b^2*h^2 = h^4
x1 = (b^2 - h^2 - h^2)/b^2 = (b^2 - 2h^2)/b^2 = 1 - 2h^2/b^2
Это реальный корень
x2 = (b^2 - h^2 + h^2)/b^2 = b^2/b^2 = 1
Если x = cos BOC = 1, то BOC = 0, что невозможно.
Теперь подставляем найденный косинус в формулу радиуса
R^2 = b^2/(2 - 2cos BOC) = b^2/(2 - 2*(1 - 2h^2/b^2)) =
= b^2/(2 - 2 + 4h^2/b^2) = b^2/(4h^2/b^2) = b^4/(4h^2)
R = b^2/(2h)
Вот такая простая формула получилась из таких сложных уравнений.
0,0
(0 оценок)
Популярные вопросы: Математика
dsokaof12lisalislais
30.05.2021 15:14
Ә) Автокөлік 5 сағатта 400 км жол жүрді. Егер ол жылдамдығын15 км/сағатқа арттыратын болса, осы уақыт ішінде қандайарақашықтықты жүріп өтеді?...
VERLIA
29.01.2023 07:40
219. Выберите из данных чисел корень уравнения:а) 3х – 15 = 0, б) - 2x + 12 = 0, в) – х + 2 = 4х +7,г) 3 (x-1) - 6 = 0, д) - (х + 5) + 2x = 0, e) – 4х + 22 = х - 3,220. Решите...
дтш
06.11.2021 03:05
Прямоугольник разделен на четыре равные части. Одну четвёртую часть его окрасили в синий, а остальные в зелёный цвет. Какая часть прямоугольника окрашена в зелёный цвет....
почемучка105
30.05.2022 06:30
Решите пропорцию используя её основное свойство ...
Юлёк1432
20.05.2022 02:46
А) Есепті шығар.Таспадан 12 м4 бөлігін құрайлан 12 мкесіп алынды, бұл оның барлық ұзындығыныңtrін құрайды. Таспаның жалпы ұзындығы қандай?...
kudryashovaek
18.09.2021 06:00
В треугольнике ABC, АВ 3см ВС 4см, АС 5см, Укажите наибольший угол этого треугольника...
amankeldievan
22.08.2022 16:36
3 яблока и 1 помидор = 2 помидорам и 1 банану 2 банана и 1 помидор = 1 яблоко +26 1 банан и 2 яблока = 1 помидор+ 22 Яблоко =? Помидор =? Банан=?...
dreygar
15.04.2022 05:05
Оцени значение выражения 4x+3y, если 3 x 4; 5 y 8...
ben29
20.01.2023 17:15
Какие числа можно поставить вместо триугольника...
NikroManSky
29.11.2022 01:34
Решите задачу по геометрии 8 класса. все в файле....
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota
Оформи подписку
О НАС
О нас
Блог
Карьера
Условия пользования
Авторское право
Политика конфиденциальности
Политика использования файлов cookie
Предпочтения cookie-файлов
СООБЩЕСТВО
Сообщество
Для школ
Родителям
Кодекс чести
Правила сообщества
Insights
Стань помощником
ПОМОЩЬ
Зарегистрируйся
Центр помощи
Центр безопасности
Договор о конфиденциальности полученной информации
App
Начни делиться знаниями
Вход
Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота
Высота пирамиды h, половина диагонали d/2 основания и боковое ребро b образуют прям-ный тр-ник, в котором боковое ребро - это гипотенуза.
(d/2)^2 = b^2 - h^2
d = 2√(b^2 - h^2)
Теперь проведем сечение пирамиды через диагональ перпендикулярно к основанию. Получим равнобедренный тр-ник и описанную окружность.
Смотри рисунок.
У равнобедренного треугольника основание d и боковые стороны b.
Радиус описанной окружности можно найти из теоремы косинусов.
{ b^2 = R^2 + R^2 - 2*R*R*cos BOC = R^2*(2 - 2cos BOC)
{ d^2 = R^2 + R^2 - 2*R*R*cos AOB = R^2*(2 - 2cos AOB)
При этом углы AOC = BOC, AOB = 360 - 2*BOC
{ R^2 = b^2/(2 - 2cos BOC)
{ R^2 = d^2/(2 - 2cos AOB) = 4(b^2 - h^2)/(2 - 2cos(360 - 2*BOC))
Приравниваем правые части
b^2/(2 - 2cos BOC) = 2(b^2 - h^2)/(1 - cos (2*BOC))
cos (2*BOC) = 2cos^2 BOC - 1;
1 - cos (2*BOC) = 2 - 2cos^2 BOC
Здесь неизвестное - cos BOC, заменим его на x
Получаем из пропорции
b^2*(2 - 2x^2) = 2(b^2 - h^2)*(2 - 2x)
b^2*(1 - x^2) = 2(b^2 - h^2)*(1 - x)
b^2 - b^2*x^2 = 2b^2 - 2h^2 - 2(b^2 - h^2)*x
Получили квадратное уравнение
b^2*x^2 - 2(b^2 - h^2)*x + (b^2 - 2h^2) = 0
D/4 = (b^2 - h^2)^2 - b^2*(b^2 - 2h^2) =
= b^4 - 2b^2*h^2 + h^4 - b^4 + 2b^2*h^2 = h^4
x1 = (b^2 - h^2 - h^2)/b^2 = (b^2 - 2h^2)/b^2 = 1 - 2h^2/b^2
Это реальный корень
x2 = (b^2 - h^2 + h^2)/b^2 = b^2/b^2 = 1
Если x = cos BOC = 1, то BOC = 0, что невозможно.
Теперь подставляем найденный косинус в формулу радиуса
R^2 = b^2/(2 - 2cos BOC) = b^2/(2 - 2*(1 - 2h^2/b^2)) =
= b^2/(2 - 2 + 4h^2/b^2) = b^2/(4h^2/b^2) = b^4/(4h^2)
R = b^2/(2h)
Вот такая простая формула получилась из таких сложных уравнений.