Дан треугольник АВС со сторонами АВ =13, ВС =14 и АС =15. Н, М и Л-точки пересечения его высот, медиан и биссектрис.
Поместим этот треугольник в прямоугольную систему координат точкой А в начало и стороной АС по оси Ох. Координаты точек А и С известны: А(0; 0), С(15; 0). По теореме косинусов найдём косинус, а затем и синус угла А и найдём координаты точки В: Хв = АВ*cos A, Yв = АВ*sin A. cos A = (13²+15²-14²)/(2*13*15) = 198/390 = 33/65 ≈ 0,507692. sin A = √(1 - cos² A) = √ (3136/4225) = 56/65 ≈ 0,861538. Отсюда получаем В(6,6; 11,2).
Центр вписанной окружности - точка Л пересечения биссектрис. Хл = ( ВС*Ха+АС*Хв+АВ*Хс)/Р = 7 Ул = (ВС*Уа+АС*Yв+АВ*Ус)/Р = 4. Здесь периметр Р = 42.
Точку Н пересечения высот находим как точку пересечения высот их точек А и С. АА₂: (Х-Ха) (У-Уа) = (Хв-Хс (Ус-Ув) АА₂: -8,4 Х + 11,2 У + 0 = 0 уравнение общего вида, АА₂: у = 0,75 х + 0 уравнение с коэффициентом.
СС₂: Х-Хс У-Ус = Ха-Хв Ув-Уа СС₂: -6,6 Х - 11,2 У + 99 = 0 уравнение общего вида, СС₂: у = -0,589286 х + 8,8392857 уравнение с коэффициентом. В результате решения системы из двух полученных уравнений находим координаты точки Н: Точка Н: x = 6,6, y = 4,95. По полученным координатам заданных точек находим длины отрезков треугольника НМЛ и по формуле Герона находим его площадь. л н м p 2p S 1,35657 0,33333 1,03078 1,360339 2,720678 0,04166666 cos Л = -0,97014 сos Н = 0,998223 cos М = 0,982872187 Лrad = 2,896614 Нrad = 0,059631 Мrad = 0,18534795 Лgr = 165,9638 Hgr = 3,416588 Мgr = 10,61965528 .
ответ: площадь треугольника НМЛ равна 0,04166666 кв.ед.
Н, М и Л-точки пересечения его высот, медиан и биссектрис.
Поместим этот треугольник в прямоугольную систему координат точкой А в начало и стороной АС по оси Ох.
Координаты точек А и С известны:
А(0; 0),
С(15; 0).
По теореме косинусов найдём косинус, а затем и синус угла А и найдём координаты точки В: Хв = АВ*cos A, Yв = АВ*sin A.
cos A = (13²+15²-14²)/(2*13*15) = 198/390 = 33/65 ≈ 0,507692.
sin A = √(1 - cos² A) = √ (3136/4225) = 56/65 ≈ 0,861538.
Отсюда получаем В(6,6; 11,2).
Координаты центроида (точка пересечения медиан):
М(Хм;Ум) = (Ха+Хв+Хс)/3; Уа+Ув+Ус)/3 = (7,2; 3,7333).
Центр вписанной окружности - точка Л пересечения биссектрис.
Хл = ( ВС*Ха+АС*Хв+АВ*Хс)/Р = 7
Ул = (ВС*Уа+АС*Yв+АВ*Ус)/Р = 4.
Здесь периметр Р = 42.
Точку Н пересечения высот находим как точку пересечения высот их точек А и С.
АА₂: (Х-Ха) (У-Уа)
=
(Хв-Хс (Ус-Ув)
АА₂: -8,4 Х + 11,2 У + 0 = 0 уравнение общего вида,
АА₂: у = 0,75 х + 0 уравнение с коэффициентом.
СС₂: Х-Хс У-Ус
=
Ха-Хв Ув-Уа
СС₂: -6,6 Х - 11,2 У + 99 = 0 уравнение общего вида,
СС₂: у = -0,589286 х + 8,8392857 уравнение с коэффициентом.
В результате решения системы из двух полученных уравнений находим координаты точки Н: Точка Н: x = 6,6,
y = 4,95.
По полученным координатам заданных точек находим длины отрезков треугольника НМЛ и по формуле Герона находим его площадь.
л н м p 2p S
1,35657 0,33333 1,03078 1,360339 2,720678 0,04166666
cos Л = -0,97014 сos Н = 0,998223 cos М = 0,982872187
Лrad = 2,896614 Нrad = 0,059631 Мrad = 0,18534795
Лgr = 165,9638 Hgr = 3,416588 Мgr = 10,61965528 .
ответ: площадь треугольника НМЛ равна 0,04166666 кв.ед.