Для вычисления определителя данной матрицы нам необходимо применить один из трёх методов:
а) Разложение по элементам i-ой строки:
Для этого мы умножаем каждый элемент i-ой строки на его алгебраическое дополнение и суммируем полученные произведения. В данном случае i = 4, поэтому мы будем разлагать определитель по 4-ой строке.
Для начала находим алгебраические дополнения элементов 4-ой строки. Алгебраическое дополнение элемента a[ij] вычисляется по формуле (-1)^(i+j) * M[ij], где i и j - номера строки и столбца элемента, а M[ij] - это минор элемента a[ij], то есть определитель матрицы, полученной из исходной путем удаления i-ой строки и j-ого столбца.
Давайте вычислим определитель, разложив его по элементам 4-ой строки:
D = 0 * A + 5 * B + (-1) * C + (-3) * D,
где A, B, C, D - алгебраические дополнения элементов 4-ой строки.
A = (-1)^(4+1) * M[41] = 1 * M[41],
где M[41] - это определитель матрицы, полученной путем удаления 4-ой строки и 1-ого столбца:
M[41] = |2 7 1|
|3 4 2|
|0 5 -3|
Теперь вычислим значение определителя:
D = 0 * A + 5 * B + (-1) * C + (-3) * D = 0 * 34 + 5 * 20 + (-1) * 0 + (-3) * 17 = 0 + 100 + 0 + (-51) = 49.
Ответ: Для данной матрицы определитель равен 49, если мы разлагаем его по 4-ой строке.
б) Разложение по элементам j-ого столбца:
Также мы можем вычислить определитель, разложив его по j-ому столбцу. В данном случае j = 1, поэтому мы будем разлагать определитель по 1-ому столбцу.
Алгоритм вычисления остается тем же, только алгебраические дополнения мы будем находить по элементам 1-ого столбца.
Весь расчет определителя приведен в пункте а), за исключением поиска алгебраических дополнений.
Ответ: Для данной матрицы определитель равен 49, если мы разлагаем его по 1-ому столбцу.
в) Приведение матрицы к треугольному виду:
Для этого мы будем преобразовывать матрицу с помощью элементарных преобразований так, чтобы она приняла верхнетреугольную форму (только нижний левый элемент будет отличаться от нуля).
Давайте поэтапно приведем данную матрицу к треугольному виду:
1) Обнулим первый элемент второй строки, вычтя из нее первую строку, умноженную на коэффициент a21/a11:
R2 = R2 - (a21/a11) * R1.
R2 = (1 1 -1 0) - (1/2) * (2 7 2 1) = (1 1 -1 0) - (1 7/2 1 1/2) = (1-1 1-7/2 -1-1 0-1/2) = (0 -5/2 -2 -1/2).
2) Обнулим первый элемент третьей строки, вычтя из нее первую строку, умноженную на коэффициент a31/a11:
R3 = R3 - (a31/a11) * R1.
R3 = (3 4 0 2) - (3/2) * (2 7 2 1) = (3 4 0 2) - (3 7/2 3/2 3/2) = (3-3 4-7/2 0-3/2 2-3/2) = (0 9/2 -3/2 1/2).
3) Обнулим первый элемент четвертой строки, вычтя из нее первую строку, умноженную на коэффициент a41/a11:
R4 = R4 - (a41/a11) * R1.
R4 = (0 5 -1 -3) - (0/2) * (2 7 2 1) = (0 5 -1 -3) - (0 0 0 0) = (0 5 -1 -3).
Теперь матрица принимает вид:
2 7 2 1
0 -5/2 -2 -1/2
0 9/2 -3/2 1/2
0 5 -1 -3
Алгоритм приведения матрицы к треугольному виду мы продолжим, преобразовывая вторую, третью и четвертую строки.
4) Обнулим второй элемент третьей строки, вычтя из нее вторую строку, умноженную на коэффициент a32/a22:
R3 = R3 - (a32/a22) * R2.
R3 = (0 9/2 -3/2 1/2) - (-2/5) * (0 -5/2 -2 -1/2) = (0 9/2 -3/2 1/2) - (0 1 4/5 1/5) = (0-0 9/2-5/2 -3/2-4/5 1/2-1/5) = (0 4 -17/10 3/10).
5) Обнулим второй элемент четвертой строки, вычтя из нее вторую строку, умноженную на коэффициент a42/a22:
R4 = R4 - (a42/a22) * R2.
R4 = (0 5 -1 -3) - (-1) * (0 -5/2 -2 -1/2) = (0 5 -1 -3) - (0 5/2 2 1/2) = (0-0 5-5/2 -1-2 -3-1/2) = (0 0 -9/2 -7/2).
а) Разложение по элементам i-ой строки:
Для этого мы умножаем каждый элемент i-ой строки на его алгебраическое дополнение и суммируем полученные произведения. В данном случае i = 4, поэтому мы будем разлагать определитель по 4-ой строке.
Для начала находим алгебраические дополнения элементов 4-ой строки. Алгебраическое дополнение элемента a[ij] вычисляется по формуле (-1)^(i+j) * M[ij], где i и j - номера строки и столбца элемента, а M[ij] - это минор элемента a[ij], то есть определитель матрицы, полученной из исходной путем удаления i-ой строки и j-ого столбца.
Давайте вычислим определитель, разложив его по элементам 4-ой строки:
D = 0 * A + 5 * B + (-1) * C + (-3) * D,
где A, B, C, D - алгебраические дополнения элементов 4-ой строки.
A = (-1)^(4+1) * M[41] = 1 * M[41],
где M[41] - это определитель матрицы, полученной путем удаления 4-ой строки и 1-ого столбца:
M[41] = |2 7 1|
|3 4 2|
|0 5 -3|
M[41] = 2 * (4*(-3) - 2 * 5) - 7 * (3*(-3) - 2 * 0) + 1 *(3*5 - 0 * 4) = 2 * (-12 - 10) - 7 * (-9) + 15 = -44 + 63 + 15 = 34.
B = (-1)^(4+2) * M[42] = (-1)^(6) * M[42] = M[42],
где M[42] - это определитель матрицы, полученной путем удаления 4-ой строки и 2-ого столбца:
M[42] = |2 7 1|
|1 1 0|
|0 5 -3|
M[42] = 2 * (1*(-3) - 0 * 5) - 7 * (1*(-3) - 0 * 0) + 1 *(1*5 - 0 * 1) = 2 * (-3) - 7 * (-3) + 5 = -6 + 21 + 5 = 20.
C = (-1)^(4+3) * M[43] = (-1)^(7) * M[43] = -M[43],
где M[43] - это определитель матрицы, полученной путем удаления 4-ой строки и 3-его столбца:
M[43] = |2 7 1|
|1 1 -1|
|0 5 -1|
M[43] = 2 * (1*(-1) - (-1) * 5) - 7 * (1*(-1) - (-1) * 0) + 1 *(1*5 - 0 * 1) = 2 * (-6) - 7 * (-1) + 5 = -12 + 7 + 5 = 0.
D = (-1)^(4+4) * M[44] = 1 * M[44],
где M[44] - это определитель матрицы, полученной путем удаления 4-ой строки и 4-ого столбца:
M[44] = |2 7 1|
|1 1 -1|
|3 4 0|
M[44] = 2 * (1*0 - (-1) * 4) - 7 * (1*0 - (-1) * 3) + 1 *(1*4 - 3 * 1) = 2 * (-4) - 7 * (-3) + 4 = -8 + 21 + 4 = 17.
Теперь вычислим значение определителя:
D = 0 * A + 5 * B + (-1) * C + (-3) * D = 0 * 34 + 5 * 20 + (-1) * 0 + (-3) * 17 = 0 + 100 + 0 + (-51) = 49.
Ответ: Для данной матрицы определитель равен 49, если мы разлагаем его по 4-ой строке.
б) Разложение по элементам j-ого столбца:
Также мы можем вычислить определитель, разложив его по j-ому столбцу. В данном случае j = 1, поэтому мы будем разлагать определитель по 1-ому столбцу.
Алгоритм вычисления остается тем же, только алгебраические дополнения мы будем находить по элементам 1-ого столбца.
Весь расчет определителя приведен в пункте а), за исключением поиска алгебраических дополнений.
Ответ: Для данной матрицы определитель равен 49, если мы разлагаем его по 1-ому столбцу.
в) Приведение матрицы к треугольному виду:
Для этого мы будем преобразовывать матрицу с помощью элементарных преобразований так, чтобы она приняла верхнетреугольную форму (только нижний левый элемент будет отличаться от нуля).
Давайте поэтапно приведем данную матрицу к треугольному виду:
1) Обнулим первый элемент второй строки, вычтя из нее первую строку, умноженную на коэффициент a21/a11:
R2 = R2 - (a21/a11) * R1.
R2 = (1 1 -1 0) - (1/2) * (2 7 2 1) = (1 1 -1 0) - (1 7/2 1 1/2) = (1-1 1-7/2 -1-1 0-1/2) = (0 -5/2 -2 -1/2).
2) Обнулим первый элемент третьей строки, вычтя из нее первую строку, умноженную на коэффициент a31/a11:
R3 = R3 - (a31/a11) * R1.
R3 = (3 4 0 2) - (3/2) * (2 7 2 1) = (3 4 0 2) - (3 7/2 3/2 3/2) = (3-3 4-7/2 0-3/2 2-3/2) = (0 9/2 -3/2 1/2).
3) Обнулим первый элемент четвертой строки, вычтя из нее первую строку, умноженную на коэффициент a41/a11:
R4 = R4 - (a41/a11) * R1.
R4 = (0 5 -1 -3) - (0/2) * (2 7 2 1) = (0 5 -1 -3) - (0 0 0 0) = (0 5 -1 -3).
Теперь матрица принимает вид:
2 7 2 1
0 -5/2 -2 -1/2
0 9/2 -3/2 1/2
0 5 -1 -3
Алгоритм приведения матрицы к треугольному виду мы продолжим, преобразовывая вторую, третью и четвертую строки.
4) Обнулим второй элемент третьей строки, вычтя из нее вторую строку, умноженную на коэффициент a32/a22:
R3 = R3 - (a32/a22) * R2.
R3 = (0 9/2 -3/2 1/2) - (-2/5) * (0 -5/2 -2 -1/2) = (0 9/2 -3/2 1/2) - (0 1 4/5 1/5) = (0-0 9/2-5/2 -3/2-4/5 1/2-1/5) = (0 4 -17/10 3/10).
5) Обнулим второй элемент четвертой строки, вычтя из нее вторую строку, умноженную на коэффициент a42/a22:
R4 = R4 - (a42/a22) * R2.
R4 = (0 5 -1 -3) - (-1) * (0 -5/2 -2 -1/2) = (0 5 -1 -3) - (0 5/2 2 1/2) = (0-0 5-5/2 -1-2 -3-1/2) = (0 0 -9/2 -7/2).
Теперь матрица принимает вид:
2 7 2 1
0 -5/2 -2 -1/2
0 4 -17/10 3/10
0 0 -9/2 -7/2
6) Обнулим третий элемент четвертой строки, вычтя из нее третью строку, умноженную на коэффициент a43/a33:
R4 = R4 - (a43/a33) * R3.
R4 = (0 0 -9/2 -7/2) - (-9/16) * (0 4 -17/10 3/10) = (0 0 -9/2 -7/2) - (0 9/4 153/160 -27/160) = (0-0 0-9/4 -9/2-153/160 -7/2+27/160) = (0 0 9/4 -1041/160).
Теперь матрица принимает вид:
2 7 2 1
0 -5/2 -2 -1/2
0 4 -17/10 3/10
0 0 9/4 -1041/160
Matрица приведена к треугольному виду (верхнетреугольной форме), и мы можем вычислить ее определитель.
Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов на ее главной диагонали, то есть D = 2 * (-5/2) * (-17/10) * (9/4) = 51.
Ответ: Для данной матрицы определитель равен 51, если мы приводим его к треугольному виду.