Вычислить приближенное значение определённого интеграла по формуле трапеций при n=5 и по формуле Симпсона для двух полос. Сравнить с точным значением интеграла.
Этот небольшой урок позволит не только освоить типовую задачу, которая довольно часто встречается на практике, но и закрепить материалы статьи Разложение функций в степенные ряды. Нам потребуется таблица разложений функций в степенные ряды, которую можно раздобыть на странице Математические формулы и таблицы. Кроме того, читатель должен понимать геометрический смысл определенного интеграла и обладать элементарными навыками интегрирования.
На уроке Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры? речь шла о том, что определенный интеграл – это площадь. Но в некоторых случаях интеграл является очень трудным или неберущимся, поэтому соответствующую площадь в большинстве случаев можно вычислить только приближенно.
Например: вычислить определенный интеграл . Такой интеграл является неберущимся, но аналитически и геометрически всё хорошо:
Приближенное вычисление определенного интеграла с разложения подынтегральной функции в ряд
Мы видим, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке , а значит, площадь существует, и определенный интеграл численно равен заштрихованной площади. Беда только в том, что данную площадь можно вычислить лишь приближенно с определенной точностью. На основании вышеизложенных фактов и появилась типовая задача курса высшей математики.
Пример 1
Вычислить приближенно определенный интеграл, предварительно разложив подынтегральную функцию в ряд Маклорена, с точностью до 0,001
Решение: Идея метода состоит в том, чтобы заменить подынтегральную функцию соответствующим степенным рядом (если он, конечно, сходится к ней на промежутке интегрирования).
Поэтому на первом этапе нужно разложить подынтегральную функцию в ряд Маклорена. Эту рас на практике задачу мы очень подробно рассмотрели на уроке Разложение функций в степенные ряды. Кстати, рекомендую всем прочитать, поскольку некоторые вещи, о которых сейчас пойдет разговор, могут показаться малопонятными.
Используем табличное разложение:
В данном случае
Обратите внимание, как я записал ряд. Специфика рассматриваемого задания требует записывать только несколько первых членов ряда. Мы не пишем общий член ряда , он здесь ни к чему.
Чем больше членов ряда мы рассматриваем – тем лучше будет точность. Сколько слагаемых рассматривать? Из практики могу сказать, что в большинстве случаев для достижения точности 0,001 достаточно записать первые 4 члена ряда. Иногда требуется меньше. А иногда больше. Если в практическом примере их не хватило, то придётся переписывать всё заново =( Поэтому целесообразно провести предварительный черновой анализ или перестраховаться, изначально записав побольше членов (собственно, такой же совет как и для приближенного вычисления значения функции с ряда).
Следует также отметить, что точность до трёх знаков после запятой самая популярная. Также в ходу и другая точность вычислений, обычно 0,01 или 0,0001.
Теперь второй этап решения:
Сначала меняем подынтегральную функцию на полученный степенной ряд:
Почему это вообще можно сделать? Данный факт пояснялся ещё на уроке о разложении функций в степенные ряды – график бесконечного многочлена в точности совпадает с графиком функции ! Причем, в данном случае утверждение справедливо для любого значения «икс», а не только для отрезка интегрования .
На следующем шаге максимально упрощаем каждое слагаемое:
Лучше это сделать сразу, чтобы на следующем шаге не путаться с лишними вычислениями.
После упрощений почленно интегрируем всю начинку – напоминаю, что эта замечательная возможность обусловлена равномерной сходимостью степенных рядов:
Интегралы здесь на этом я не останавливаюсь.
На завершающем этапе вспоминаем школьную формулу Ньютона-Лейбница . Для тех, кто не смог устоять перед Ньютоном и Лейбницем, есть урок Определенные интегралы. Примеры решений.
Техника вычислений стандартна: сначала подставляем в каждое слагаемое 0,3, а затем ноль. Для вычислений используем калькулятор:
Сколько членов ряда нужно взять для окончательных вычислений? Если сходящийся ряд знакочередуется, то абсолютная погрешность вычислений по модулю не превосходит последнего отброшенного члена ряда. В нашем случае уже третий член ряда меньше требуемой точности 0,001, и поэтому если мы его отбросим, то заведомо ошибёмся не более чем на 0,000972 (осознайте, почему!). Таким образом, для окончательного расчёта достаточно первых двух членов: .
ответ: , с точностью до 0,001
Что это получилось за число с геометрической точки зрения? – это приблизительная площадь заштрихованной фигуры (см. рисунок выше).
Пример 2
Вычислить приближенно определенный интеберущимся, правда, решение не самое
Тетрадь… эта неотъемлемая часть школьного бытия сопровождала наше детство, детство наших родителей – и, наверное, ещё не скоро отойдёт в Кажется, что тетради существовали всегда! Но ведь появились же они когда-нибудь… как и где это произошло?
На этот вопрос ответить само слово «тетрадь»… какие ассоциации оно вызывает? Вспомним похожие слова: «тетралогия» – произведение, состоящее из четырёх частей (например, тетралогия Р.Вагнера «Кольцо нибелунга», включающая четыре оперы), «тетрада Фалло» – тяжёлый порок сердца, включающий четыре нарушения… Иными словами, название «тетрадь» происходит от слова «четыре»… что за этим стоит?
Тому есть несколько возможных объяснений. Одно из них состоит в том, что в библиотеках средневековых университетов книги – для удобства студентов – делились на четыре части (действительно удобно: не надо ждать, когда кто-то сдаст всю книгу – можно пока поработать с её частью, в условиях отсутствия книгопечатания это было незаменимо), и эти части и назывались четвертями – тетрадями…
Но с большей вероятностью можно предположить, что понятие «тетрадь» всё-таки древнее, причём именно в привычном нам значении. Возможно, оно пришло к нам из Древней Греции, где ученики (впрочем, не только они) писали заострёнными палочками-стилями на покрытых воском дощечках. Но много ли напишешь на одной дощечке? С другой стороны, скреплять сразу много дощечек тоже не очень то удобно – внушительная связка получится... Оптимальным вариантом оказались четыре дощечки – тетрадь! Такие ученические тетради дошли до наших времён – и они показывают нам, как и чему учили в античных школах. Так, в одной такой тетради четырежды переписано весьма актуальное изречение: «будь прилежен, мальчик, чтобы тебя не выдрали!»
Но есть и другая версия происхождения и самой тетради, и слова «тетрадь». Вспомним, какой был «любимый» материал для письма в Древнем мире? Конечно же, папирус! Ведь вощенные дощечки были удобны для ученических упражнений, текущих записей «для памяти» – словом, для чего-то короткого и не особенно ценного, что потом сразу сотрёшь, а вот для больших и ценных текстов нужно было что-то долго сохраняющееся и лёгкое. В этом плане папирус представлял собой идеальный вариант.
Но и ему были присущи недостатки. Дело в том, что папирус нельзя сложить – он при этом сломается, его можно только свернуть в свиток. Каково найти в свитке (иной раз весьма длинном) нужное место, вы легко представите, если вспомните недавнее как мы мучились в поисках нужного места на видео- и аудиокассетах! И в довершение всего египтяне запретили вывозить папирус со своей территории.
Но, как известно, если есть потребность – замена всегда найдётся. И она нашлась – после походов Александра Македонского. В греческом городе Пергам в Малой Азии переняли у персов и усовершенствовали технологию выделки шкур. Вот так и появился материал для письма, который именуют – по названию города – пергаментом. Он оказался даже лучше папируса: не темнел и не ломался со временем.
Поначалу из пергамента – так сказать, «по инерции» – делали свитки, подобные папирусным. Но это было неудобно: свиток должен быть длинным и узким, много пергамента шло в отходы – а ведь это не дешёвый материал! Наконец, было найдено оптимальное решение: лист пергамента складывали вчетверо – вот это и называлось «тетрадой» – и несколько таких тетрадей сшивали между собой, и это уже было похоже на то, что мы называем тетрадью сейчас. Таким образом, появление тетради напрямую связано с изобретением пергамента. Должны были пройти века, чтобы пергамент в качестве материала для письма был вытеснен бумагой – и тетради стали бумажными.
Пошаговое объяснение:
Этот небольшой урок позволит не только освоить типовую задачу, которая довольно часто встречается на практике, но и закрепить материалы статьи Разложение функций в степенные ряды. Нам потребуется таблица разложений функций в степенные ряды, которую можно раздобыть на странице Математические формулы и таблицы. Кроме того, читатель должен понимать геометрический смысл определенного интеграла и обладать элементарными навыками интегрирования.
На уроке Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры? речь шла о том, что определенный интеграл – это площадь. Но в некоторых случаях интеграл является очень трудным или неберущимся, поэтому соответствующую площадь в большинстве случаев можно вычислить только приближенно.
Например: вычислить определенный интеграл . Такой интеграл является неберущимся, но аналитически и геометрически всё хорошо:
Приближенное вычисление определенного интеграла с разложения подынтегральной функции в ряд
Мы видим, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке , а значит, площадь существует, и определенный интеграл численно равен заштрихованной площади. Беда только в том, что данную площадь можно вычислить лишь приближенно с определенной точностью. На основании вышеизложенных фактов и появилась типовая задача курса высшей математики.
Пример 1
Вычислить приближенно определенный интеграл, предварительно разложив подынтегральную функцию в ряд Маклорена, с точностью до 0,001
Решение: Идея метода состоит в том, чтобы заменить подынтегральную функцию соответствующим степенным рядом (если он, конечно, сходится к ней на промежутке интегрирования).
Поэтому на первом этапе нужно разложить подынтегральную функцию в ряд Маклорена. Эту рас на практике задачу мы очень подробно рассмотрели на уроке Разложение функций в степенные ряды. Кстати, рекомендую всем прочитать, поскольку некоторые вещи, о которых сейчас пойдет разговор, могут показаться малопонятными.
Используем табличное разложение:
В данном случае
Обратите внимание, как я записал ряд. Специфика рассматриваемого задания требует записывать только несколько первых членов ряда. Мы не пишем общий член ряда , он здесь ни к чему.
Чем больше членов ряда мы рассматриваем – тем лучше будет точность. Сколько слагаемых рассматривать? Из практики могу сказать, что в большинстве случаев для достижения точности 0,001 достаточно записать первые 4 члена ряда. Иногда требуется меньше. А иногда больше. Если в практическом примере их не хватило, то придётся переписывать всё заново =( Поэтому целесообразно провести предварительный черновой анализ или перестраховаться, изначально записав побольше членов (собственно, такой же совет как и для приближенного вычисления значения функции с ряда).
Следует также отметить, что точность до трёх знаков после запятой самая популярная. Также в ходу и другая точность вычислений, обычно 0,01 или 0,0001.
Теперь второй этап решения:
Сначала меняем подынтегральную функцию на полученный степенной ряд:
Почему это вообще можно сделать? Данный факт пояснялся ещё на уроке о разложении функций в степенные ряды – график бесконечного многочлена в точности совпадает с графиком функции ! Причем, в данном случае утверждение справедливо для любого значения «икс», а не только для отрезка интегрования .
На следующем шаге максимально упрощаем каждое слагаемое:
Лучше это сделать сразу, чтобы на следующем шаге не путаться с лишними вычислениями.
После упрощений почленно интегрируем всю начинку – напоминаю, что эта замечательная возможность обусловлена равномерной сходимостью степенных рядов:
Интегралы здесь на этом я не останавливаюсь.
На завершающем этапе вспоминаем школьную формулу Ньютона-Лейбница . Для тех, кто не смог устоять перед Ньютоном и Лейбницем, есть урок Определенные интегралы. Примеры решений.
Техника вычислений стандартна: сначала подставляем в каждое слагаемое 0,3, а затем ноль. Для вычислений используем калькулятор:
Сколько членов ряда нужно взять для окончательных вычислений? Если сходящийся ряд знакочередуется, то абсолютная погрешность вычислений по модулю не превосходит последнего отброшенного члена ряда. В нашем случае уже третий член ряда меньше требуемой точности 0,001, и поэтому если мы его отбросим, то заведомо ошибёмся не более чем на 0,000972 (осознайте, почему!). Таким образом, для окончательного расчёта достаточно первых двух членов: .
ответ: , с точностью до 0,001
Что это получилось за число с геометрической точки зрения? – это приблизительная площадь заштрихованной фигуры (см. рисунок выше).
Пример 2
Вычислить приближенно определенный интеберущимся, правда, решение не самое
На этот вопрос ответить само слово «тетрадь»… какие ассоциации оно вызывает? Вспомним похожие слова: «тетралогия» – произведение, состоящее из четырёх частей (например, тетралогия Р.Вагнера «Кольцо нибелунга», включающая четыре оперы), «тетрада Фалло» – тяжёлый порок сердца, включающий четыре нарушения… Иными словами, название «тетрадь» происходит от слова «четыре»… что за этим стоит?
Тому есть несколько возможных объяснений. Одно из них состоит в том, что в библиотеках средневековых университетов книги – для удобства студентов – делились на четыре части (действительно удобно: не надо ждать, когда кто-то сдаст всю книгу – можно пока поработать с её частью, в условиях отсутствия книгопечатания это было незаменимо), и эти части и назывались четвертями – тетрадями…
Но с большей вероятностью можно предположить, что понятие «тетрадь» всё-таки древнее, причём именно в привычном нам значении.
Возможно, оно пришло к нам из Древней Греции, где ученики (впрочем, не только они) писали заострёнными палочками-стилями на покрытых воском дощечках. Но много ли напишешь на одной дощечке? С другой стороны, скреплять сразу много дощечек тоже не очень то удобно – внушительная связка получится... Оптимальным вариантом оказались четыре дощечки – тетрадь! Такие ученические тетради дошли до наших времён – и они показывают нам, как и чему учили в античных школах. Так, в одной такой тетради четырежды переписано весьма актуальное изречение: «будь прилежен, мальчик, чтобы тебя не выдрали!»
Но есть и другая версия происхождения и самой тетради, и слова «тетрадь». Вспомним, какой был «любимый» материал для письма в Древнем мире? Конечно же, папирус! Ведь вощенные дощечки были удобны для ученических упражнений, текущих записей «для памяти» – словом, для чего-то короткого и не особенно ценного, что потом сразу сотрёшь, а вот для больших и ценных текстов нужно было что-то долго сохраняющееся и лёгкое. В этом плане папирус представлял собой идеальный вариант.
Но и ему были присущи недостатки. Дело в том, что папирус нельзя сложить – он при этом сломается, его можно только свернуть в свиток. Каково найти в свитке (иной раз весьма длинном) нужное место, вы легко представите, если вспомните недавнее как мы мучились в поисках нужного места на видео- и аудиокассетах! И в довершение всего египтяне запретили вывозить папирус со своей территории.
Но, как известно, если есть потребность – замена всегда найдётся. И она нашлась – после походов Александра Македонского. В греческом городе Пергам в Малой Азии переняли у персов и усовершенствовали технологию выделки шкур. Вот так и появился материал для письма, который именуют – по названию города – пергаментом. Он оказался даже лучше папируса: не темнел и не ломался со временем.
Поначалу из пергамента – так сказать, «по инерции» – делали свитки, подобные папирусным. Но это было неудобно: свиток должен быть длинным и узким, много пергамента шло в отходы – а ведь это не дешёвый материал! Наконец, было найдено оптимальное решение: лист пергамента складывали вчетверо – вот это и называлось «тетрадой» – и несколько таких тетрадей сшивали между собой, и это уже было похоже на то, что мы называем тетрадью сейчас.
Таким образом, появление тетради напрямую связано с изобретением пергамента. Должны были пройти века, чтобы пергамент в качестве материала для письма был вытеснен бумагой – и тетради стали бумажными.