За эту долгую работу и отмечаю, как лучший ответ, если будет решено все. Возможно дополнительное поощрение .

Задача№4.Диагонали четырёхугольника ABCD,вписанного в окружность,пересекаются в точке М,АМ = 4, СМ = 9,ВМ = DМ, /АМВ = 30.Найдите площадь четырёхугольника.

Задача№5.Треугольник АВС вписан в окружность. Прямая, содержащая медиану ВМ, пересекает окружность в точке К, КМ = 4, ВМ = 9, ВС = 7,2. Найдите АК.

Задача№6. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 13,14,15.

Задача№6. Около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.Известно, что АВ = 3, ВС = 4,СD = 5 и АD = 2. НайдитеАC.

Задача№7. В ▲АВС известно, что АС = b, /АВС = α. Найдите радиус окружности, проходящей через центр вписанного в треугольник АВС круга и вершины А и С.
Задача№8.В окружности проведены две хорды АВ= а и АС=b.Длина дуги АС вдвое больше длины дуги АВ.Найдите радиус окружности.

Задача№9.В ▲KLM угол L – тупой, сторона КМ = 6см..Найти радиус окружности, описанной около ▲KLM, если известно, что на этой окружности лежит центр окружности,проходящей через точки К,М,Н, где Н-ортоцентр окружности.

Задача №10. В ▲KLM угол L – тупой, сторона КМ = 6см.Найти радиус окружности, описанной около ▲KLM, если известно, что на этой окружности лежит центр окружности, проходящей через точки К, М, Н, где Н-ортоцентр окружности.
​

Положим что данное выражение равно s(n) , и преобразуем s(n)=2^(2^n)+2^(2^(n-1))+1=(2^(2^(n-1))+1)^2-2^(2^(n-1)) 1) Используя формулу разности квадратов , разложим на множители число s , для определенного n имеем s(n)=(2^(2^(n-1))-2^(2^(n-2))+1)*(2^(2^(n-2))-2^(2^(n-3))+1)*(2^(2^(n-3))-2^(2^(n-4))+1)*...*7 (7-это число s при n=1) 2) докажем что каждые два множителя s (вышеописанные множители) взаимно просты. 3)Для начала возьмём какие-нибудь два числа вида 2^(2^n)+1 и 2^(2^k)+1 , тогда докажем что НОД этих чисел будет равен 1. Без потери общности , положим n>k>0 , то все по той же разности квадратов получим 2^(2^n)+1=(2^(2^(n-1))+1)*(2^(2^(n-2))+1)*(2^(2^(n-3))+1)*...(2^(2^k)+1)*...*5 + 2 То есть это говорит о том что, число 2^(2^(n))+1 при деланий на 2^(2^(k))+1 даёт остаток равный 2 и НОД(2^(2^(k))+1 , 2)=1 так как числа рассматриваемого вида , всегда нечётна . То есть числа взаимно простые. 4)Теперь докажем пункт номер 2. Рассмотрим числа вида X=2^(2^k)-2^(2^(k-1))+1 и Y=2^(2^m)-2^(2^(m-1))+1 Используя формулу (a^2-a+1)(a+1)=a^3+1, заменим (2^(2^(k-1))+1)=u и (2^(2^(m-1))+1)=v получим что X*(2^(2^(k-1))+1)=X*u=2^(3*2^(k-1))+1=A , аналогично Y*(2^(2^(m-1))+1)=Y*v=2^(3*2^(m-1))+1=B Для чисел A и B рассуждая абсолютно аналогично как и в пункте 3 , следует что нод (A,B)=1 то есть они взаимно просты. Стало быть если НОД(X*u,Y*v)=1 и НОД(u,v)=1 значит и НОД(X,Y)=1 тем самым пункт 2 доказан. 5) Если записать упрощенна s(n)=a1*a2*a3*a4***a(n-1)*..*7 из пункта 2 следует (то что любые два числа взаимно просты) , это значит что у s(n) не существует простых делителей вида p^a где p-простое число , "a" целое положительное. В свою очередь это значит что если числа a1,a2,a3 итд являются сами простыми , то у него будет ровно n делителей , если хотя бы какое одно число не простое , то при разложений его , на простые множители , учитывая пункт 2, очевидно что будет больше чем n делителей.

5 огурцов + 3 помидора                                                     4 огурца + 4 помидора
5-4=1 огур                                                                          4-3=1 помидор           
                                                 равны
1 огурец=1 помидор
то есть:
1) с каждой чаши убираем по 4 огурца:
5-4=1 огурец остается на первой чаше
4-4=0 на второй чаше огурцов не остается.
2) убираем с каждой чаши по 3 помидора
3-3=0 на первой чаше помидоров не остается
4-3=1 помидор остается на второй чаше
1 огурец= 1 помидор