Математика: Задача с параметром. Гроб. Может кто-нибудь ?

Пошаговое объяснение:Правая часть уравнения принимает значения или в зависимости от значений : при при для любого целого В итоге получается уравнение вида которое равносильно уравнениюРассмотрим три промежутка:1) Несложно установить, что только при корни такого вида при заданном диапазоне попадают в промежуток Значит если на этом промежутке уравнение имеет корень, он равен при 2) Аналогично, только при корни такого вида при заданном диапазоне попадают в промежуток Значит если на этом промежутке...

Задача с параметром. Гроб. Может кто-нибудь ?

Показать ответ

Ответ:

mikhdina24

29.07.2022 09:00

$a \in \left[ {\frac{\pi }{2};\,\,\frac{{3\pi }}{2} - 3} \right] \cup \left[ {\frac{{5\pi }}{2} - 6;\,\,\frac{{7\pi }}{2} - 9} \right]$

Пошаговое объяснение:

Правая часть уравнения принимает значения или в зависимости от значений :

при $2k - 1 \le x < 2k \cos (\pi \cdot [x]) = - 1,$

при $2k \le x < 2k + 1 \cos (\pi \cdot [x]) = 1$ для любого целого

В итоге получается уравнение вида ${\sin ^5}(3x + a) = \pm 1,$ которое равносильно уравнению

$\sin (3x + a) = \pm 1, \\3x + a = \pm \frac{\pi }{2} + 2\pi n, \\x = - \frac{a}{3} \pm \frac{\pi }{6} + \frac{{2\pi n}}{3}, n \in {\rm{Z}}.$

Рассмотрим три промежутка:

1) $1 \le x < 2$

$x = - \frac{a}{3} - \frac{\pi }{6} + \frac{{2\pi n}}{3}.$

Несложно установить, что только при n = 1 корни такого вида при заданном диапазоне попадают в промежуток $1 \le x < 2.$ Значит если на этом промежутке уравнение имеет корень, он равен $x = - \frac{a}{3} - \frac{\pi }{6} + \frac{{2\pi }}{3} = \frac{\pi }{2} - \frac{a}{3};$

$1 \le \frac{\pi }{2} - \frac{a}{3} < 2$ при $a \in \left[ {0;\,\,\frac{{3\pi }}{2} - 3} \right].$

2) $2 \le x < 3$

$x = - \frac{a}{3} + \frac{\pi }{6} + \frac{{2\pi n}}{3}.$

Аналогично, только при n = 1 корни такого вида при заданном диапазоне попадают в промежуток $2 \le x < 3.$ Значит если на этом промежутке уравнение имеет корень, он равен $x = - \frac{a}{3} + \frac{\pi }{6} + \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{5\pi }}{6} - \frac{a}{3};$

$2 \le \frac{{5\pi }}{6} - \frac{a}{3} < 3$ при $a \in \left[ {0;\,\,\frac{{5\pi }}{2} - 6} \right].$

3) $3 \le x \le \pi$

$x = - \frac{a}{3} - \frac{\pi }{6} + \frac{{2\pi n}}{3}.$

Аналогично, при n = 2 корни такого вида при заданном диапазоне попадают в промежуток $3 \le x \le \pi .$ Значит если на этом промежутке уравнение имеет корень, он равен $x = - \frac{a}{3} - \frac{\pi }{6} + \frac{{4\pi }}{3} = \frac{{7\pi }}{6} - \frac{a}{3};$ $3 \le \frac{{7\pi }}{6} - \frac{a}{3} \le \pi$ при $\frac{\pi }{2} \le a \le \frac{{7\pi }}{2} - 9.$

Обозначим на рисунке указанные интервалы. Для существования нечетного количества корней выберем промежутки, на которых пересекаются все три из них или находится только один. Получаем $a \in \left[ {\frac{\pi }{2};\,\,\frac{{3\pi }}{2} - 3} \right] \cup \left[ {\frac{{5\pi }}{2} - 6;\,\,\frac{{7\pi }}{2} - 9} \right]$ .