1) Функция не определена при обращении в ноль знаменателя, т.е. x ≠ 0 .
D(f) ≡ R \ {0} ≡ ;
2) В функции встречаются только чётные степени аргумента, а значит она чётная. Докажем это:
;
Найдём первую производную функции y(x) :
;
;
При x = 0, производная y'(x) – не определена, как и сама функция, при всех остальных значениях аргумента функция и её первая производная определены и конечны, а значит функция непрерывная на всей области определения D(f) – на всей числовой прямой, кроме ноля.
3) Функция не определена при x = 0 . Это точка разрыва. При этом её значение стремится к положительной бесконечности, что легко доказать:
;
Если приравнять функцию к нолю, получим:
;
;
;
– что невозможно ни при каких действительных значениях аргумента;
Значит, никаких пересечений графика с осями координат нет.
4. Найдем асимптоты y(x).
По найденному в (3) пределу, ясно, что линия x = 0 – является вертикальной двухсторонней асимптотой графика функции y(x) .
Посмотрим, что происходит с функцией y(x) при устремлении аргумента к ± :
;
Значит, уходя на бесконечность обоих знаков график функции y(x) имеет двунаправленную горизонтальную асимптоту y = 2 ;
Наклонных асимптот нет, и не может быть, так как есть горизонтальные с обеих сторон.
5. Первая производная функции y(x) :
– положительна при отрицательных значениях аргумента и отрицательна при положительных х ;
Значит, функция возрастает на и убывает на ;
Уравнение т.е. – не имеет решений, а значит, у функции нет экстремумов, т.е. конечных локальных минимумов или максимумов.
6. Найдём вторую производную функции y(x) :
;
при любых значениях аргумента ;
В силу общей положительности второй производной – график функции всегда «улыбается», т.е. он вогнут, или, говоря иначе: он закручивается против часовой стрелки на всём своём протяжении при проходе по числовой оси аргументов слева направо.
Поскольку выгнутость повсеместна, то и точек перегиба не может быть. И их нет, соответственно.
Ориентирование по солнцу, луне и звездамЕще в древности астрономия людям находить дорогу. Несложные приемы определения направления в незнакомом месте могут и сегодня пригодиться Вам в походе или на прогулке. Направление на стороны света можно определить по солнцу, луне и звездам даже точнее, чем по компасу. Ориентирование по солнцуДля определения сторон света по солнцу можно использовать обычные карманные или ручные часы. Если вы направите в час дня стрелку часов на солнце, то она покажет вам направление на юг, потому что солнце в полдень находится в южной части неба. (Астрономический полдень наступает около 13 часов). Чтобы определить направление на стороны света в другое время, нужно направить часовую стрелку на солнце и угол, образованный между этой стрелкой и цифрой «1», разделить пополам. Полученная линия покажет направление на юг. До полудня она будет расположена слева от цифры «1», после полудня – справа (рис. 1). Для более точного наведения часовой стрелки на солнце поставьте перпендикулярно плоскости часов в центр циферблата палочку, например карандаш. Теперь поворачивайте часы так, чтобы тень от палочки и часовая стрелка составили прямую линию. При таком положении часовая стрелка будет направлена точно на солнце. Ориентирование по лунеНочью и вечером можно ориентироваться по луне. Для этого нужно знать, как выглядят основные фазы луны. Различают четыре основные фазы луны. Новолуние. Луна находится между Землей и Солнцем, в это время к земле обращена теневая сторона Луны, и мы ее не видим. Первая четверть. Луна видна вечером в юго-западной стороне неба в виде светлого полукруга, обращенного выпуклостью вправо.
Полнолуние. Луна освещена вся полностью и имеет вид яркого диска. Последняя четверть. Луна видна под утро в юго-восточной стороне неба в виде светлого полукруга, обращенного выпуклостью влево (рис. 2). Сведения о наступлении лунных фаз вы найдете в отрывных и настольных календарях, по средствам Internet. Чтобы иметь возможность ориентироваться по луне, нужно запомнить следующее. Серп «молодой» луны, изогнутый в правую сторону, виден вечером в западной стороне неба и заходит вскоре после захода солнца. В первой четверти луна бывает на юге около 7 часов вечера. Полная луна в южном направлении наблюдается около 1 часа ночи. В 10 часов вечера она бывает в юго-восточной стороне неба, а в 4 часа утра – на юго-западе. Луна в последней четверти находится на юге в 7 часов утра. Серп «старой» луны, напоминающий букву «С», виден утром, незадолго до восхода солнца, в восточной стороне неба. Зная это, вы по положению луны и ее фазе легко определите точки горизонта. Ориентирование по звездамЛуна не всегда видна на небе. Зато каждую ночь, когда небо не закрыто облаками, на нем видны звезды, по которым также можно определить направление. Наиболее просто ориентироваться по Полярной звезде, которая всегда стоит над Северным полюсом. Полярную звезду находят по созвездию Большой медведицы. Это созвездие известно каждому и видно в течении всей ночи. Полярная звезда является концом ручки «ковшика» созвездия Малой Медведицы.
Исследовать функцию и построить график.
Решение:
1) Функция не определена при обращении в ноль знаменателя, т.е. x ≠ 0 .
D(f) ≡ R \ {0} ≡
2) В функции встречаются только чётные степени аргумента, а значит она чётная. Докажем это:
Найдём первую производную функции y(x) :
При x = 0, производная y'(x) – не определена, как и сама функция, при всех остальных значениях аргумента функция и её первая производная определены и конечны, а значит функция непрерывная на всей области определения D(f) – на всей числовой прямой, кроме ноля.
3) Функция не определена при x = 0 . Это точка разрыва. При этом её значение стремится к положительной бесконечности, что легко доказать:
Если приравнять функцию к нолю, получим:
Значит, никаких пересечений графика с осями координат нет.
4. Найдем асимптоты y(x).
По найденному в (3) пределу, ясно, что линия x = 0 – является вертикальной двухсторонней асимптотой графика функции y(x) .
Посмотрим, что происходит с функцией y(x) при устремлении аргумента к ±
Значит, уходя на бесконечность обоих знаков график функции y(x) имеет двунаправленную горизонтальную асимптоту y = 2 ;
Наклонных асимптот нет, и не может быть, так как есть горизонтальные с обеих сторон.
5. Первая производная функции y(x) :
Значит, функция возрастает на
Уравнение
6. Найдём вторую производную функции y(x) :
В силу общей положительности второй производной – график функции всегда «улыбается», т.е. он вогнут, или, говоря иначе: он закручивается против часовой стрелки на всём своём протяжении при проходе по числовой оси аргументов слева направо.
Поскольку выгнутость повсеместна, то и точек перегиба не может быть. И их нет, соответственно.
7.
При х = ± 1 : : : y(x) = 3 ;
При х = ± 2 : : : y(x) = 2.25 ;
При х = ± 1/2 : : : y(x) = 6 ;
Строим график:
Направление на стороны света можно определить по солнцу, луне и звездам даже точнее, чем по компасу.
Ориентирование по солнцуДля определения сторон света по солнцу можно использовать обычные карманные или ручные часы. Если вы направите в час дня стрелку часов на солнце, то она покажет вам направление на юг, потому что солнце в полдень находится в южной части неба. (Астрономический полдень наступает около 13 часов). Чтобы определить направление на стороны света в другое время, нужно направить часовую стрелку на солнце и угол, образованный между этой стрелкой и цифрой «1», разделить пополам. Полученная линия покажет направление на юг. До полудня она будет расположена слева от цифры «1», после полудня – справа (рис. 1).
Для более точного наведения часовой стрелки на солнце поставьте перпендикулярно плоскости часов в центр циферблата палочку, например карандаш. Теперь поворачивайте часы так, чтобы тень от палочки и часовая стрелка составили прямую линию. При таком положении часовая стрелка будет направлена точно на солнце.
Ориентирование по лунеНочью и вечером можно ориентироваться по луне. Для этого нужно знать, как выглядят основные фазы луны.
Различают четыре основные фазы луны.
Новолуние. Луна находится между Землей и Солнцем, в это время к земле обращена теневая сторона Луны, и мы ее не видим.
Первая четверть. Луна видна вечером в юго-западной стороне неба в виде светлого полукруга, обращенного выпуклостью вправо.
Полнолуние. Луна освещена вся полностью и имеет вид яркого диска.
Последняя четверть. Луна видна под утро в юго-восточной стороне неба в виде светлого полукруга, обращенного выпуклостью влево (рис. 2).
Сведения о наступлении лунных фаз вы найдете в отрывных и настольных календарях, по средствам Internet.
Чтобы иметь возможность ориентироваться по луне, нужно запомнить следующее. Серп «молодой» луны, изогнутый в правую сторону, виден вечером в западной стороне неба и заходит вскоре после захода солнца. В первой четверти луна бывает на юге около 7 часов вечера. Полная луна в южном направлении наблюдается около 1 часа ночи. В 10 часов вечера она бывает в юго-восточной стороне неба, а в 4 часа утра – на юго-западе. Луна в последней четверти находится на юге в 7 часов утра. Серп «старой» луны, напоминающий букву «С», виден утром, незадолго до восхода солнца, в восточной стороне неба. Зная это, вы по положению луны и ее фазе легко определите точки горизонта.
Ориентирование по звездамЛуна не всегда видна на небе. Зато каждую ночь, когда небо не закрыто облаками, на нем видны звезды, по которым также можно определить направление.
Наиболее просто ориентироваться по Полярной звезде, которая всегда стоит над Северным полюсом. Полярную звезду находят по созвездию Большой медведицы. Это созвездие известно каждому и видно в течении всей ночи. Полярная звезда является концом ручки «ковшика» созвездия Малой Медведицы.