Запишите координаты точек G и F. Найдите по рисунку значение . [2]​

1.  большое(из слова более)  покрывало накрыло землю и деревья! либо деревья и землю накрыло большое покрывало.  2. лёгкий морозец пощипывал за щеки.(мне кажется,что одно слово вы просто потеряли, а именно пощипывать, иначе предложение не сложишь, оно будет несвязным). 3.в каникулы мы катались на коньках и лыжах.(тут вы тоже потеряли в предложении предлог на иначе снова нет связи в словах). кто? что? -  покрывало - им.п. кого? чего? - землю - род.п кого? чего? - деревья - род.п кто? что? - морозец - им.п

Даны: точка А(0; -1; 0), уравнения прямой (x + 1)/(-2) = y/1 = (z – 1)/(-2) и плоскости -8x – 4y + z + 13 = 0.  

Найти:  

а) угол между прямой и плоскостью.  

Направляющий вектор прямой имеет вид:

n1 =  {-2;  1; -2}.        

Вектор нормали плоскости имеет вид:

n =  {-8; -4; 1}.        

Угол между прямой и плоскостью:

sinφ =           | -2 · (-8) + 1 · (-4) + (-2) · 1 |              

     √((-2)2 + 12 + (-2)2) · √((-8)2 + (-4)2 + 12) =

= (16-4-2)/(√9*√81) = 10/(3*9)=10/27.  

Угол равен arcsin(10/27) = 21,73846 градуса.

б) уравнение прямой, проходящей через точку А перпендикулярно данной плоскости.  

Для этой прямой (пусть это будет АК) вектор нормали плоскости n = {-8; -4; 1} будет направляющим вектором.

Получаем уравнение:

АК: x/(-8) = (y + 1)/(-4) = z/1.

в) уравнение плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно прямой.

Для этой плоскости направляющий вектор прямой n1 =  {-2; 1; -2} будет нормальным вектором.

Подставим его координаты в уравнение плоскости с учётом точки (-1; 0; 1), принадлежащей плоскости.

-2(x + 1) + 1*y – 2*(z – 1) = 0,

Получаем уравнение 2x – y + 2z = 0.

г) расстояние от точки до прямой.  

Из уравнения прямой получим:

s = -2; 1; -2   - направляющий вектор прямой;

M1 = -1; 0; 1   - точка, лежащая на прямой.

Тогда

M0M1 = {M1x - M0x; M1y - M0y; M1z - M0z} = (-1 - 0; 0 - (-1); 1 – 0( = (-1; 1; 1).

Площадь параллелограмма лежащего на двух векторах M0M1 и s:

S = |M0M1 × s|

M0M1 × s = i    j    k

                 -1    1    1

                     -2   1    -2 =

= i (1·(-2) - 1·1) - j (-1·(-2) - 1·(-2)) + k (-1·1 - 1·(-2)) =

= i (-2 – 1) - j (2 + 2) + k( -1 + 2) =

= (-3; -4; 1).

Зная площадь параллелограмма и длину стороны найдем высоту (расстояние от точки до прямой):

d = |M0M1×s|/|s| = √(-3)2 + (-4)2 + 12/√(-2)2 + 12 + (-2)2 = √26/√9 = √26/3 ≈ 1,69967.

д) расстояние от точки А(0; -1; 0)  до плоскости -8x – 4y + z + 13 = 0.

Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0.

используем формулу:d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D|/√(A² + B² + C²).

Подставим в формулу данные:

d = |-8·0 + (-4)·(-1) + 1·0 + 13|/√((-8)² + (-4)² + 1²) = |0 + 4 - 0 + 13|/√(64 + 16 + 1) =  17/√81 = 17/9 ≈ 1,88889.