Направление вектора в пространстве определяется углами, , которые вектор составляет с осями координат Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора.
С выведенной ранее формулы (45) для проекции вектора легко получить выражения для направляющих косинусов. Пусть дан вектор . Тогда
Отсюда находим выражения для направляющих косинусов:
Так как по формуле , то
Возводя почленно каждое из равенств формул (60) в квадрат и складывая, найдем зависимость между направляющими косинусами вектора:
откуда
т. e. сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице.
Замечание. Легко видеть, что проекции любого единичного вектора на оси координат соответственно совпадают с его направляющими косинусами и, следовательно, его разложение по осям координат имеет вид
Пример. Найти косинусы углов, которые вектор АВ составляет с осями координат, если .
Решение. Находим проекции вектора АВ на оси Ох, Оу, Oz:
По формуле (58) находим модуль вектора по формулам (60) находим направляющие косинусы вектора:
Направление вектора в пространстве определяется углами, , которые вектор составляет с осями координат Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора.
С выведенной ранее формулы (45) для проекции вектора легко получить выражения для направляющих косинусов. Пусть дан вектор . Тогда
Отсюда находим выражения для направляющих косинусов:
Так как по формуле , то
Возводя почленно каждое из равенств формул (60) в квадрат и складывая, найдем зависимость между направляющими косинусами вектора:
откуда
т. e. сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице.
Замечание. Легко видеть, что проекции любого единичного вектора на оси координат соответственно совпадают с его направляющими косинусами и, следовательно, его разложение по осям координат имеет вид
Пример. Найти косинусы углов, которые вектор АВ составляет с осями координат, если .
Решение. Находим проекции вектора АВ на оси Ох, Оу, Oz:
По формуле (58) находим модуль вектора по формулам (60) находим направляющие косинусы вектора:
1 см² = 1 см * 1 см = 10 мм * 10 мм = 100 мм²
1 дм² = 1 дм * 1 дм = 10 см * 10 см = 100 см²
5 см² 40 мм² + 18 см² = (5 * 100 + 40) мм² + (18 * 100) мм² =
= 540 мм² + 1800 мм² = 2340 мм² = 23 см² 40 мм² = 23,40 см²
12 см² 40 мм² + 60 мм² = (12 * 100 + 40) мм² + 60 мм² =
= 1240 мм² + 60 мм² = 1300 мм² = 13 см²
8 дм² 34 см² - 44 см² = (8 * 100 + 34) см² - 44 см² =
= 834 см² - 44 см² = 790 см² = 7 дм² 90 см² = 7,9 дм²
Задание 2.a = 43 м
P = 172 м
P = (a + b) * 2
a + b = P/2
b = P/2 - a
b = 172/2 - 43
b = 43 м
S = a * b
S = 43 * 43
S = 1849 м²
b = 20 м
P = 110 м
a = P/2 - b
a = 110/2 - 20
a = 35 м
S = a * b
S = 35 * 20
S = 700 м²