Знайти частинні розв'язки рівнянь y"-6y'+5y=0,якщоy=0 і y"=1; при

А) например, подойдет 8, уравнение 3t^2 - 8t + 4 = 0
Вообще, если неизвестный коэффициент обозначить за u, то подойдет любое u, для которого дискриминант u^2 - 4 * 3 * 4 = u^2 - 48 > 0

б) D = 8^2 - 48 = 16 = 4^2
t = (8 +- 4)/6
t1 = (8 - 4)/6 = 2/3
t2 = (8 + 4)/6 = 2

в) Нужно написать многочлен, корни которого t = -t1 и t = -t2.
Это может быть, например, многочлен (t + t1)(t + t2) = (t + 2/3)(t + 2)
Самый простой построить такой многочлен, не вычисляя корней, – воспользоваться теоремой Виета и её обратной. Для противоположных корней сумма меняет знак, а произведение остается прежним, так что 3t^2 + 8t + 4 подходит.

Пусть означает , где применена раз.

Поскольку многочлен, то у него есть значение в любой точке. (*)

Докажем утверждение по индукции.

База: - это то, что дано по условию.

Переход:

Пусть для некоторого верно; Докажем, что из этого следует справедливость утверждения и для ; Действительно, по предположению индукции множество решений уравнения совпадает с ; Возьмем от обеих частей (благодаря (*) мы можем это сделать): ; Но если сделать замену , получим ; А множество решений этого уравнения лежит в ; Предположим, что есть некоторый элемент , такой, что для него не найдется , чтобы ; Тогда , но лежит в , противоречие. Это завершает переход.