1). Докажите методом математической индукции :
а)1*3+2*5+...+n(2n+1)=1/6*n(n+1)(4n+5);
б)1/3*(1+3/3+5/3^2+...+2n-1/3^n-1)=1-n+1/3^n.
2). Докажите методом математической индукции, что при n ∈ N , значение выражения 13^n +5 кратно 6.
3). Методом математической индукции докажите, что при n ∈ N , 2^n ≥ 3n-1.
1)
y=x+2 домножим на 4
4y+x^2=8 сделаем перенос
4y=4x+8
4y=8 -x^2 вычтем второе из первого
4y-4y =4x+8 -(8 -x^2)
0=x^2+4x
x(x+4)=0 один из множителей равен =0
x1=0 ; y1=x1+2=0+2=2
x2=-4; y2=x2+2=-4+2=-2
отве+т (-4; -2) ; (0; 2)
2)
y^2+2x-4y=8
2y-x=2 домножим на 2
y^2+2x-4y=8
4y-2x=4 ; сложим уравнения
y^2+2x-4y + 4y-2x = 12
y^2=12
y1= -√12 = - 2√3
y1= √12 = 2√3
2y-x=2 ; x=2y-2
x1=2*(- 2√3) -2 = -2 - 4√3
x2=2* 2√3 -2 = -2 +4√3
ответ (-2 - 4√3 ; - 2√3) ; (-2 + 4√3 ; 2√3)
3)
x\2-y\3=x-y домножим на -4
2(x+y)-2(x-y)-3=2x+y упростим
-2x+4y/3=-4x+4y
-8y/3+2x=0 (1)
2x+2y-2x+2y-3=2x+y
4y -3 = 2x+y
3y -2x = 3 (2)
сложим (1) и (2)
-8y/3+2x +3y -2x =0 +3
-8y/3+3y =3
y (3-8/3)=3
y (9-8) / 3=3
y= 9
из уравнения (2)
3y -2x = 3 ; 2x =3y-3 ; x=3/2 *(y-1)
x= 3/2 *(9-1) =12
ответ (12; 9)
4)
3(x-y)-2(x+y)=2x-2y упростим
x-y/3-x+y/2=x/6+1 домножим на 6 и упростим
3x-3y-2x-2y=2x-2y
- 3y = x (1)
6x-2y-6x+3y=x+6
y=x+6 (2)
вычтем из (1) (2)
- 3y - y = x -(x+6)
-4y = -6
y= 3/2
тогда из (1)
- 3y = x ; x= -3 * 3/2 = -9/2
ответ (-9/2 ; 3/2)
Подробнее - на -
1)
а)Координаты точки пересечения прямых (4; 1)
Решение системы уравнений (4; 1)
б)Координаты точки пересечения прямых (2; 2)
Решение системы уравнений (2; 2)
в) Координаты точки пересечения прямых (4; 3)
Решение системы уравнений (4; 3)
2)
а)Решение системы уравнения (3; -2)
Единственное решение.
б)Система уравнений не имеет решений.
в)Система уравнений имеет бесчисленное множество решений.
Объяснение:
1) Решить систему уравнений графически:
а)у=х-3
0,5х+у=3
Построить графики. Графики линейной функции, прямые линии. Придаём значения х, подставляем в уравнение, вычисляем у, записываем в таблицу. Для построения прямой достаточно двух точек, для точности построения определим три.
Прежде преобразуем уравнения в более удобный для вычислений вид:
у=х-3 0,5х+у=3
у=3-0,5х
Таблицы:
х -1 0 1 х -2 0 2
у -4 -3 -2 у 4 3 2
Согласно графика, координаты точки пересечения прямых (4; 1)
Решение системы уравнений (4; 1)
б)у-х=0
3х-у=4
Построить графики. Графики линейной функции, прямые линии. Придаём значения х, подставляем в уравнение, вычисляем у, записываем в таблицу. Для построения прямой достаточно двух точек, для точности построения определим три.
Прежде преобразуем уравнения в более удобный для вычислений вид:
у-х=0 3х-у=4
у=х -у=4-3х
у=3х-4
Таблицы:
х -1 0 1 х -1 0 1
у -1 0 1 у -7 -4 -1
Согласно графика, координаты точки пересечения прямых (2; 2)
Решение системы уравнений (2; 2)
в)х+у=7
х-у=1
Построить графики. Графики линейной функции, прямые линии. Придаём значения х, подставляем в уравнение, вычисляем у, записываем в таблицу. Для построения прямой достаточно двух точек, для точности построения определим три.
Прежде преобразуем уравнения в более удобный для вычислений вид:
х+у=7 х-у=1
у=7-х -у=1-х
у=х-1
Таблицы:
х -1 0 1 х -1 0 1
у 8 7 6 у -2 -1 0
Согласно графика, координаты точки пересечения прямых (4; 3)
Решение системы уравнений (4; 3)
2) Сколько решений имеет система уравнений?
а)х-2у=7
3х+2у=5 методом сложения
Смысл метода алгебраического сложения в том, чтобы при сложении уравнений одно неизвестное взаимно уничтожилось. То есть, чтобы коэффициенты при неизвестном каком-то были одинаковыми, но с противоположными знаками. Для того, чтобы этого добиться, преобразовывают уравнения, можно умножать обе части уравнения на одно и то же число, делить.
В данной системе ничего преобразовывать не нужно, коэффициенты при у одного значения и с противоположными знаками.
Складываем уравнения:
х+3х-2у+2у=7+5
4х=12
х=3
Теперь подставляем значение х в любое из двух уравнений системы и вычисляем у:
х-2у=7
-2у=7-х
2у=х-7
у=(х-7)/2
у=(3-7)/2
у= -4/2= -2
Решение системы уравнения (3; -2)
Единственное решение.
б)4х+5у=9
12х+15у=18
Разделим второе уравнение на 3 для упрощения:
4х+5у=9
4х+5у=6
k₁=k₂, b₁ ≠ b₂, графики данных функций будут параллельны, а система уравнений не имеет решений.
в)3х+у=5
12х+4у=20
Разделим второе уравнение на 4 для упрощения:
3х+у=5
3х+у=5
k₁=k₂, b₁ = b₂, уравнения полностью совпадают, графики этих функций "сольются", а система уравнений имеет бесчисленное множество решений.