1 вариант 1. Выберите функции, графики которых параллельны, ответ обоснуйте: а) у = 0,5х + 8 и y=x+8, в) у = 5х +8 и у = х – 2; б) у = - 2 и у = х – 4; г) у = 105х - 11 и Ах - 15.
1) Находим точку пересечения c OY. Она имеет координаты (0; C). Нашли C.
2) По направлению ветвей определяем знак коэффициента А.
3) Находим вершину параболы. Пусть это точка с координатами (x0; y0). Если x0<0, то знак коэффициента B совпадает со знаком коэффициента А. Если x0>0, то знак коэффициента противоположен знаку А. Мы знаем, что -B/2A = x0 - уравнение для абсциссы вершины Ax0^2+Bx0+C = y0 - уравнение для ординаты вершины. x0, y0 и C нам известны. Значит, решив эту систему, найдём А и В.
Разберём на примере (см. рис.) 1. Точка пересечения с OY A(0; 4). Значит, C = 4.
2. Ветви вверх. Значит A>0.
3. Точка вершины O(-1; 3). Абсцисса точки О отрицательна, значит B>0
-B/2A = -1 A*(-1)^2+B*(-1)+4 = 3
B = 2A A-2A+4 = 3
B = 2 A = 1
Получаем уравнение x^2+2x+4 = 0. То есть А = 1, В = 2, С = 4
Пусть t = sinx, t ∈ [-1; 1].
2t² + 3t - 5 = 0
D = 9 + 4•5•2 = 49 = 7²
t1 = (-3 + 7)/4 = 4/4 = 1
t2 = (-3 - 7)/4 = -10/4 - не уд. условию
Обратная замена:
sinx = 1
x = π/2 + 2πn, n ∈ Z.
2) 10sin²x - 17cosx - 16 = 0
10 - 10cos²x - 17cosx - 16 = 0
-10cos²x - 17cosx - 6 = 0
10cos²x + 17cosx + 6 = 0
Пусть t = cosx, x ∈ [-1; 1].
D = 289 - 4•6•10 = 49 = 7²
t1 = (-17 + 7)/20 = -10/20 = -1/2
t2 = (-17 - 7)/20 = -24/20 - не уд. условию
Обратная замена:
cosx = -1/2
x = ±arccos(-1/2) + 2πn, n ∈ Z
x = ±2π/3 + 2πn, n ∈ Z.
3) 5sin²x + 17sinxcosx + 6cos²x = 0
Разделим на cos²x.
5tg²x + 17tgx + 6 = 0
Пусть t = tgx.
D = 289 - 6•4•5 = 289 - 120 = 13²
t1 = (-17 + 13)/10 = -4/10 = -2/5
t2 = (-17 - 13)/10 = -30/10 = -3
Обратная замена:
tgx = -2/5
x = arctg(-2/5) + πn, n ∈ Z.
x = arctg(-3) + πn, n ∈ Z.
4) 3tgx - 14ctg + 1 = 0
3tgx - 14/tgx + 1 = 0
3tg²x + tgx - 14 = 0
Пусть t = tgx.
3t² + t - 14 = 0
D = 1 + 14•4•3 = 13²
t1 = (-1 + 13)/6 = 12/6 = 2
t2 = (-1 - 13)/6 = -14/6 = -7/3
обратная замена:
tgx = 2
x = arctg2 + πn, n ∈ Z
tgx = -7/3
x = arctg(-7/3) + πn, n ∈ Z.
2) По направлению ветвей определяем знак коэффициента А.
3) Находим вершину параболы. Пусть это точка с координатами (x0; y0).
Если x0<0, то знак коэффициента B совпадает со знаком коэффициента А. Если x0>0, то знак коэффициента противоположен знаку А.
Мы знаем, что
-B/2A = x0 - уравнение для абсциссы вершины
Ax0^2+Bx0+C = y0 - уравнение для ординаты вершины.
x0, y0 и C нам известны. Значит, решив эту систему, найдём А и В.
Разберём на примере (см. рис.)
1. Точка пересечения с OY A(0; 4). Значит, C = 4.
2. Ветви вверх. Значит A>0.
3. Точка вершины O(-1; 3).
Абсцисса точки О отрицательна, значит B>0
-B/2A = -1
A*(-1)^2+B*(-1)+4 = 3
B = 2A
A-2A+4 = 3
B = 2
A = 1
Получаем уравнение x^2+2x+4 = 0. То есть А = 1, В = 2, С = 4