Как привезти алгебраические дроби к общему знаменателю?(поясните кратко и понятно)

Показать ответ

Ответ:

Ртдотк

26.12.2020 22:57

Для a ∈ (-∞; -1) корней не существует

Для a ∈ [-1; -0.5): x = 2a + 3

Для a = -0.5: x = 2 (как подстановка a в корень (2a + 3) )

Для a ∈ (-0.5, 1): x = 2a + 3

Для a ∈ [1; 3): x₁ = 2a + 3; x₂ = a - 1

Для a = 3: x = 2 (как подстановка a в корень (a - 1) )

Для a ∈ (3; +∞): x₁ = 2a + 3; x₂ = a - 1

Объяснение:

Можно заметить, что знаменатель уравнения представляет собой полный квадрат суммы. Ее можно свернуть в (x-3a)^2 . Таким образом, мы сразу же можем сказать, что в итоге решения уравнения нужно исключить корни, равные 3а, так как в этом случае знаменатель обращается в нуль.

Чтобы дробь была равна нулю, необходимо, чтобы и числитель был равен нулю.

$\sqrt{3ax-2a^2-a+4}-x+1=0\\\sqrt{3ax-2a^2-a+4}= x-1\\3ax - 2a^2-a+4 = x^2 - 2x + 1\\x^2 - 2x - 3ax + 2a^2 + a - 3 = 0\\x^2 - (2 + 3a)x + (2a^2 + a - 3) = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения

$x^2 - (2 + 3a)x + (2a^2 + a - 3) = 0\\D = (2 + 3a)^2 - 4(2a^2+a-3)\\D = 9a^2 + 12a + 4 - 8a^2 - 4a + 12 = a^2 + 8a + 16 = (a + 4)^2$

Дискриминант данного уравнения всегда неотрицательное число, поэтому как минимум одно решение будет всегда

Отсюда находим x:

$x^2 - (2 + 3a)x + (2a^2 + a - 3) = 0\\D = (a + 4)^2\\x_1 = \frac{(2+3a)+a+4}{2} = \frac{4a+6}{2} = 2a+3\\x_2 = \frac{(2+3a) - a - 4}{2} = \frac{2a - 2}{2} = a - 1$

Дополнительно определим, какие параметры a вполне допустимы:

$2a + 3 \neq 3a\\a \neq 3$

$a - 1 \neq 3a\\-2a \neq 1\\a \neq 0.5$

Если a = 3, то корень единственный x = x₂ = a - 1 = 2

И если a = -0.5, то корень x = x₁ = 2a + 3 = 2

UPD:

Как верно заметили в комментариях, упустил одну деталь, и она связана с особенностями квадратного корня. Значение квадратного корня всегда неотрицательное число, поэтому справедливо неравенство:

$x - 1 \geq 0\\x \geq 1$

Это значит, что корни, которые были получены через дискриминант, должны удовлетворять:

$\left \{ {{2a+3 \geq 1} \atop {a - 1 \geq 1}} \right. \\\left \{ {{2a \geq -2} \atop {a \geq 2}} \right.\\\left \{ {{a \geq -1} \atop {a \geq 1}} \right.$

Это значит, что параметр a должен быть не меньше чем 2, чтобы существовало два корня

С другой стороны, если оно будет меньше 2, это еще не говорит о том, что и корней не будет. На отрезке [-1; 2) будет строго один корень, который равен 2a + 3. Других вариантов нет.

0,0(0 оценок)

Ответ:

theta4ka

05.05.2022 14:43

Решение уравнения будем искать в виде $y=e^{\beta\cdot x}$ .

Составим характеристическое уравнение.
$\beta^2-3\beta=0\\ \beta_1=0;\\ \beta_2=3;$

Фундаментальную систему решений функций:
$y_1=1\\ y_2=e^{3x}$

Общее решение однородного уравнения:
$y_{*}=y_1+y_2=C_1\cdot e^{3x}+C_2$

Теперь рассмотрим прафую часть диф. уравнения:
$f(x)=3e^{3x}$

найдем частные решения.
Правая часть имеет вид уравнения
$P(x)=e^{\alpha x}(R(x)\cos(\gamma x)+L(x)\sin(\gamma x))$ , где R(x) и S(x) - полиномы, которое имеет частное решение.

$y=x^ze^{\alpha x}(P(x)\cos(\gamma x)+S(x)\sin (\gamma x))$ , где z -

кратность корня $\alpha+\gamma i$

У нас R(x) = 3; L(x) = 0; $\alpha=3;\,\, \gamma =0$

Число $\alpha + \gamma i=3$ является корнем характеристического уравнения кратности z=1

Тогда уравнение имеет частное решение вида:
$y=x(Ae^{3x})$
Находим 2 производные, получим
$y'=3Ax3e^{3x}+Ae^{3x}\\ y''=3Ae^{3x}(3x+2)$

И подставим эти производные в исходное диф. уравнения
$y''-3y'=3e^{3x}\\ 3Ae^{3x}=3e^{3x}\\ A=1$

Частное решение имеет вид: $y_*=xe^{3x}$

Общее решение диф. уравнения:
$y=C_1e^{3x}+C_2+xe^{3x}$