На столе лежит n≤2020 камней. Двое ходят по очереди: первый игрок может взять любое чётное число камней от 2 до 16, а второй игрок может взять любое нечётное число камней от 1 до 15. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. При скольких n при правильной игре выиграет второй?
Таких методов несколько.
1) Представим 2^30 – 3^10 как разность квадратов:
(2^15) + 3^5)(2^15 – 3^5).
2^15 = (2^7)²*2.
2^7 = 128
2^15 = 128*128*2 = 32768
3^5 = 243.
(32768 + 243)(32768 - 243) = 33011 * 32525 = 1073682775 .
2) Можно применить логарифмирование по основанию 10.
lg(2^30) = 30*lg2 = 30*0,301029996 = 9,03089987.
Число 2^30 = 10^(9,03089987 = 1073741824 .
lg(3^10) = 10*lg3 = 10*0,477121255 = 4,771212547
Число 3^10 = 10^4,771212547 = 59049 .
ответ как разность 1073741824 - 59049 = 1073682775 .
3) Использовать калькулятор.
2^(30) = 1073741824,
3^(10) = 59049
Разность равна 1073682775 .
6^x = (2^x)*(3^x)
2^(2x+1) = 2*2^(2x)
3^(2x) + (2^x)*(3^x) = 2*2^(2x) - разделим обе части на 2^(2x)
1.5^(2x) + 1.5^x = 2, 1.5^(2x) + 1.5^x - 2 = 0
Замена: 1.5^x = t >0
t^2 + t - 2 = 0, D=1+4*2=9
t1 = -2 <0 - не удовл.условию замены
t2 = 1 >0
1.5^x = 1, x=0
б) Разделим обе части уравнения на 5^(2x+4):
(2^7 * 2^(2x)) / (5^(2x) * 5^4) + 1 + ( 2^(2x) * 2^x * 2^(-5)) / (5^(2x) * 5^4) = 0
(128/625) * 0.4^(2x) + (1/20000)*2^x * 0.4^(2x) = -1
В б) вы уверенны, что условие ВЕРНО записали? Потому что если в последней степени вместо 3х должно быть 2х - то решение было бы аналогично первой задачи. Осталось бы сделать замену и решить квадратное уравнение.