Что такое возрастание или убывание функции? Объясняем на примере. Пусть у нас есть функция y=2x. Начнем подставлять в нее значения х, и вычислять значения у:
x₁=-1; y₁=2*(-1)=-2;
x₂=-0.5; y₂=2*(-0.5)=-1;
x₃=0; y₃=2*0=0;
x₄=1; y₄=2*1=2.
Смотрим на полученные числа. Видим, что x₄>x₃>x₂>x₁ при этом y₄>y₃>y₂>y₁. Т.е. значения х возрастают от x₁ до x₄, при этом значения у также возрастают от y₁ до y₄. Такая функция называется возрастающей (возрастает х → возрастает у).
Пример убывающей функции: y=-3x.
x₁=-1; y₁=-3*(-1)=3;
x₂=-0.5; y₂=-3*(-0.5)=1.5;
x₃=0; y₃=0;
x₄=1; y₄=-3*1=-3.
Видим, что х возрастает от -1 до +1, а у при этом убывает от +3 до -3 (возрастает х → убывает у). Такая функция называется убывающей.
Но т.к. мы не можем перебрать все значения х (их же бесконечно много) чтобы убедиться, что функция ведет себя одинаково на всей числовой прямой даже для таких простых функций, как в примере (такие функции называются линейными, и на графике они предстваляют собой прямую линию, а бывают еще и более сложные функции, которые возрастают на одном интервале, а на другом убывают), математики нашли универсальный определения возрастания или убывания функции.
Это определение через производную функции: если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X; если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.
1. y=2x+3;
найдем производную этой функции:
y'=(2x+3)'=2x'+3'=2+0=2';
y'=2.
Производная больше нуля, мало того: производная вообще не зависить от х. Следовательно функция возрастающая при любом х, говорят: "функция возрастает на интервале от минус бесконечности до плюс бесконечности".
y=2x+3 возрастает на Х ∈ (-∞;+∞).
* График этой функции - прямая, проходящая через две точки: (0;3) и (-3/2;0) Легко построить.
2. y=1-3x;
производная этой функции:
y'=(1-3x)'=0-3=-3 < 0
Здесь производная меньше нуля при любых значениях х (производная - постоянная величина). Функция убывает при любом х.
y=1-3x убывает на Х ∈ (-∞;+∞).
** График этой функции - прямая, проходящая через две точки: (0;1) и (1/3;0)
3. y=3-x²;
производная функции:
y'=(3-x²)'=0-2x=-2x.
Здесь производная зависит от значения х. Мало того: существует точка, где производная равна 0:
y'=0; -2x=0; x=0.
Эта точка называется точкой экстремума. Эта точка "отделяет" интервалы возрастания функции от интервалов убывания.
Получаем два интервала, на которых функция ведет себя совершенно по-разному. Если на одном она возрастает, то на другом убывает.
Эти интервалы:
x∈(-∞;0) и x∈(0;+∞);
Проверим. Возмем первый (левый) интервал x∈(-∞;0) , подставим два каких-либо (любых) числа х из этого интервала, и вычислим значение функции у:
x=-2; y=3-(-2)²=3-4=-1;
x=-1; y=3-(-1)²=3-1=2;
х возрастает (от-2 до -1), при этом у возрастает (от -1 до +2) - функция возрастает на интервале x∈(-∞;0).
Возмем правый интервал x∈(0;+∞), подставим два каких-либо числа х из этого интервала, и вычислим значение функции у:
x=2; y=3-(2)²=3-4=-1;
x=3; y=3-(3)²=3-9=-6;
х возрастает (от 2 до 3), у убывает (от -1 до -6) - функция убывает на интервале x∈(0;+∞).
*** График этой функции - квадратичная парабола y=x², "перевернутая вверх ногами" с вершиной в точке (0;3), пересекает ось ОХ в точках (-√3;0 ) и (√3;0).
Если в условии действительно H > |G + I|, то утверждение, очевидно, неверно: например, система 3x - y - z = 0 -x + 3y - z = 0 -x + 3y - z = 0 кроме решения (0, 0. 0) имеет решение (1, 1, 2).
Если в действительности I > |G + H|, G, H < 0, то утверждение становится верным: Разделим первое уравнение на A, второе на E, третье на I и переобозначим получившиеся коэффициенты: x - ay - bz = 0 -cx + y - dz = 0 -ex - fy + z = 0
Исходя из условия a, b, c, d, e, f > 0; a + b < 1, c + d < 1, e + f < 1.
Умножаем первое уравнение на c и складываем со вторым, умножаем на e и складываем с третьим: x - ay - bz = 0 (1 - ac) y - (d + bc) z = 0 -(f + ae) y + (1 - be) z = 0
Так как 0 < a, b, c, e < 1, то 1 - ac, f + ae > 0. Прибавим к третьему уравнению, домноженному на (1 - ac), второе, домноженное на (f + ae): x - ay - bz = 0 (1 - ac) y - (d + bc) z = 0 [(1 - ac)(1 - be) - (d + bc)(f + ae)] z = 0
Рассматриваем коэффициент перед z в третьем уравнении: (1 - ac)(1 - be) - (d + bc)(f + ae) = 1 + abce - ac - be - df - bcf - ade - abce = 1 - (ac + be + df + bcf + ade)
Оценим выражение в скобках, учтя, что b < 1 - a, d < 1 - c, f < 1 - e: ac + be + df + bcf + ade < ac + (1 - a)e + (1 - c)(1 - e) + (1 - a)c(1 - e) + a(1 - c)e = 1.
Тогда коэффициент перед z положительный, на него можно разделить и получить, что z = 0. Подставляем z = 0 во второе уравнение и получаем, что y = 0. Подставляем y = z = 0 и получаем, что x = 0.
Объяснение:
Что такое возрастание или убывание функции? Объясняем на примере. Пусть у нас есть функция y=2x. Начнем подставлять в нее значения х, и вычислять значения у:
x₁=-1; y₁=2*(-1)=-2;
x₂=-0.5; y₂=2*(-0.5)=-1;
x₃=0; y₃=2*0=0;
x₄=1; y₄=2*1=2.
Смотрим на полученные числа. Видим, что x₄>x₃>x₂>x₁ при этом y₄>y₃>y₂>y₁. Т.е. значения х возрастают от x₁ до x₄, при этом значения у также возрастают от y₁ до y₄. Такая функция называется возрастающей (возрастает х → возрастает у).
Пример убывающей функции: y=-3x.
x₁=-1; y₁=-3*(-1)=3;
x₂=-0.5; y₂=-3*(-0.5)=1.5;
x₃=0; y₃=0;
x₄=1; y₄=-3*1=-3.
Видим, что х возрастает от -1 до +1, а у при этом убывает от +3 до -3 (возрастает х → убывает у). Такая функция называется убывающей.
Но т.к. мы не можем перебрать все значения х (их же бесконечно много) чтобы убедиться, что функция ведет себя одинаково на всей числовой прямой даже для таких простых функций, как в примере (такие функции называются линейными, и на графике они предстваляют собой прямую линию, а бывают еще и более сложные функции, которые возрастают на одном интервале, а на другом убывают), математики нашли универсальный определения возрастания или убывания функции.
Это определение через производную функции: если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X; если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.
1. y=2x+3;
найдем производную этой функции:
y'=(2x+3)'=2x'+3'=2+0=2';
y'=2.
Производная больше нуля, мало того: производная вообще не зависить от х. Следовательно функция возрастающая при любом х, говорят: "функция возрастает на интервале от минус бесконечности до плюс бесконечности".
y=2x+3 возрастает на Х ∈ (-∞;+∞).
* График этой функции - прямая, проходящая через две точки: (0;3) и (-3/2;0) Легко построить.
2. y=1-3x;
производная этой функции:
y'=(1-3x)'=0-3=-3 < 0
Здесь производная меньше нуля при любых значениях х (производная - постоянная величина). Функция убывает при любом х.
y=1-3x убывает на Х ∈ (-∞;+∞).
** График этой функции - прямая, проходящая через две точки: (0;1) и (1/3;0)
3. y=3-x²;
производная функции:
y'=(3-x²)'=0-2x=-2x.
Здесь производная зависит от значения х. Мало того: существует точка, где производная равна 0:
y'=0; -2x=0; x=0.
Эта точка называется точкой экстремума. Эта точка "отделяет" интервалы возрастания функции от интервалов убывания.
Получаем два интервала, на которых функция ведет себя совершенно по-разному. Если на одном она возрастает, то на другом убывает.
Эти интервалы:
x∈(-∞;0) и x∈(0;+∞);
Проверим. Возмем первый (левый) интервал x∈(-∞;0) , подставим два каких-либо (любых) числа х из этого интервала, и вычислим значение функции у:
x=-2; y=3-(-2)²=3-4=-1;
x=-1; y=3-(-1)²=3-1=2;
х возрастает (от-2 до -1), при этом у возрастает (от -1 до +2) - функция возрастает на интервале x∈(-∞;0).
Возмем правый интервал x∈(0;+∞), подставим два каких-либо числа х из этого интервала, и вычислим значение функции у:
x=2; y=3-(2)²=3-4=-1;
x=3; y=3-(3)²=3-9=-6;
х возрастает (от 2 до 3), у убывает (от -1 до -6) - функция убывает на интервале x∈(0;+∞).
*** График этой функции - квадратичная парабола y=x², "перевернутая вверх ногами" с вершиной в точке (0;3), пересекает ось ОХ в точках (-√3;0 ) и (√3;0).
3x - y - z = 0
-x + 3y - z = 0
-x + 3y - z = 0
кроме решения (0, 0. 0) имеет решение (1, 1, 2).
Если в действительности I > |G + H|, G, H < 0, то утверждение становится верным:
Разделим первое уравнение на A, второе на E, третье на I и переобозначим получившиеся коэффициенты:
x - ay - bz = 0
-cx + y - dz = 0
-ex - fy + z = 0
Исходя из условия a, b, c, d, e, f > 0; a + b < 1, c + d < 1, e + f < 1.
Умножаем первое уравнение на c и складываем со вторым, умножаем на e и складываем с третьим:
x - ay - bz = 0
(1 - ac) y - (d + bc) z = 0
-(f + ae) y + (1 - be) z = 0
Так как 0 < a, b, c, e < 1, то 1 - ac, f + ae > 0.
Прибавим к третьему уравнению, домноженному на (1 - ac), второе, домноженное на (f + ae):
x - ay - bz = 0
(1 - ac) y - (d + bc) z = 0
[(1 - ac)(1 - be) - (d + bc)(f + ae)] z = 0
Рассматриваем коэффициент перед z в третьем уравнении:
(1 - ac)(1 - be) - (d + bc)(f + ae) = 1 + abce - ac - be - df - bcf - ade - abce = 1 - (ac + be + df + bcf + ade)
Оценим выражение в скобках, учтя, что b < 1 - a, d < 1 - c, f < 1 - e:
ac + be + df + bcf + ade < ac + (1 - a)e + (1 - c)(1 - e) + (1 - a)c(1 - e) + a(1 - c)e = 1.
Тогда коэффициент перед z положительный, на него можно разделить и получить, что z = 0.
Подставляем z = 0 во второе уравнение и получаем, что y = 0.
Подставляем y = z = 0 и получаем, что x = 0.
x = y = z = 0, ура.