При яких значеннях параметрів a і b многочлен А(x) - вопрос №81518015035 от flagmarta 05.04.2021 19:02

Question

Алгебра: При яких значеннях параметрів a і b многочлен А(x) = x⁴ — 8х³ + 15x² + ax +b ділиться націло на многочлен B(x) = x²-x-2​

flagmarta · Answer

Так как a, b, c - последовательные члены арифметической прогрессии, то b и с можно выразить через а и разность прогрессии d:
$x_{k-1}=a \\\ x_{k}=b=a+d \\\ x_{k+1}=c=a+2d$
Характеристическое свойство арифметической прогрессии: каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен полусумме предыдущего и последующего члена.
Значит, нужно доказать, что:
$a^2+ac+c^2= \frac{(a^2+ab+b^2)+(b^2+bc+c^2)}{2}$
Выполняем преобразования:
$2(a^2+ac+c^2)=a^2+ab+b^2+b^2+bc+c^2 \\\ 2a^2+2ac+2c^2=a^2+ab+2b^2+bc+c^2 \\\ a^2+2ac+c^2=ab+2b^2+bc$
Выражаем b и с через а и d:
$a^2+2a(a+2d)+(a+2d)^2=a(a+d)+2(a+d)^2+(a+d)(a+2d) \\\ a^2+2a^2+4ad+a^2+4ad+4d^2= \\\ =a^2+ad+2a^2+4ad+2d^2+a^2+2ad+ad+2d^2
\\\
4a^2+8ad+4d^2=4a^2+8ad+4d^2$
Слева и справа записаны одинаковые выражения. Значит, заданные числа удовлетворяют характеристическому свойству и являются последовательными членами арифметической прогрессии

При яких значеннях параметрів a і b многочлен А(x) = x⁴ — 8х³ + 15x² + ax +b ділиться націло на многочлен B(x) = x²-x-2​

При яких значеннях параметрів a і b многочлен А(x) = x⁴ — 8х³ + 15x² + ax +b ділиться націло на многочлен B(x) = x²-x-2