Алгебра: Решить каждое уравнение и вернуться в колонку 2

Решить каждое уравнение и вернуться в колонку 2

Показать ответ

Ответ:

evgehafly

29.11.2020 09:53

2x² + 7x - 4 = 0

Это квадратное уравнение решения много, самый частый -- через дискриминант (D).

Квадратное уравнение в общем виде выглядит так:

ax^2+bx+c=0

где a, b, c -- коэффициенты, a ≠ 0

Формула дискриминанта:

D=b^2-4ac

Формула корней:

$x=\frac{-bб\sqrt{D}}{2a}$

При этом от дискриминанта зависит количество корней в уравнении:

Если D > 0, то уравнение имеет 2 корня

Если D = 0, то уравнение имеет 1 корень

Если D < 0, то уравнение не имеет корней

Теперь решение:

2x² + 7x - 4 = 0

В нём a = 2, b = 7, c = -4. Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

$D=49-4\cdot2\cdot(-4) = 49+32=81$

D > 0, значит уравнение имеет 2 корня.

Найдём корень из дискриминанта и корни уравнения:

$\sqrt{D}=\sqrt{81}=9$

$x_1=\frac{-7-9}{2\cdot2}=\frac{-16}{4}=-4\\ \\ x_2=\frac{-7+9}{2\cdot2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \\ \\ \\ OTBET:-4; \frac{1}{2} .$

0,0(0 оценок)

Ответ:

PROGamerTV11

31.05.2020 20:33

Найти а) частное решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, удовлетворяющее заданным начальным условиям ;

б) общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

a) y " + 8y ' + 7y = 0 ; y(0) = 2 ; y '(0) = 1 .

Составляем и решим характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

k² + 8k +7 =0 D₁ = (8/2)² - 7 = 4² -7 = 9 = 3² ; √D₁ =3

* * * очевидно по т Виета * * * k = - 1 корень

k₁,₂ = - (8/2) ± 3

k₁ = -4 - 3 = - 7 ;

k₂ = - 4 + 3 = -1 .

Получены два различных действительных корня

Общее решение : y = C₁e^(-7x) +C₂e^(-x) , где C₁ и C₂ произвольные константы (постоянные) .

* * * Придавая константам различные значения, можно получить бесконечно много частных решений * * *

Определим частное решение удовлетворяющее заданным начальным условиям : y(0) = 2 , y ' (0) = 1 .

y(0) = C₁e^(-7*0) +C₂e^(-0 ) = C₁ + C₂ = 2;

y ' = ( C₁e^(-7x) +C₂e^(-x) ) ' = -7*C₁e^(-7x) - C₂e^(-x)

y ' (0) = -7*C₁e^(-7*0) - C₂e^(-0) = - 7C₁ - C₂ = 1 .

- - - Составим и решим систему из двух найденных уравнений:

{ C₁ + C₂ = 2 ; {-6C₁ = 2+1 ; {C₁ = -0,5 ; { C₁ = - 0,5 ;

{ - 7C₁ - C₂ = 1 . { C₂ = - 7C₁ - 1. { C₂ =-7*(-0,5) -1 . { C₂ = 2,5 .

* * *методом сложения * * *

Подставим найденные значения C₁ и C₂ в общее решение

ответ : - 0,5 e^(-7x) +2,5 e^(-x) частное решение удовлетворяющее заданным начальным условиям.

- - - - - - -

б) y ' ' - 6y ' + 8y = 3e^ 4x

k² - 6k + 8 =0 ( характеристическое уравнение )

k₁ = 2 ;

k₂ = 4 .

y₀= C₁e^(2x) +C₂e^(4x) общее решение без правой части

Далее найдем частное решение данного уравнения по правой части у₁ =Axe^(4x) , у₁' = Ae^(4x) +4Axe^(4x) , у₁' ' = 4Ae^(4x) +4A(e^(4x) +4xe^(4x) )=8Ae^(4x) +16Axe^(4x)

8Ae^(4x) +16Axe^(4x) - 6Ae^(4x) -24Axe^(4x) +8Axe^(4x) =3e^4x

2Ae^(4x) =3e^(4x ) ⇒ A =1,5 ; y₁=Axe^(4x) = 1,5xe^(4x)

y = y₀ + y₁ = C₁e^(2x) +C₂e^(4x)+ 1,5xe^(4x)

ответ : C₁e^(2x) +C₂e^(4x)+ 1,5xe^(4x) .

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

ay ' ' + by' + cy =0 ищем решение y= е^(kx) || ^ → степень ||

y ' = е^(kx) *(kx) ' =k*е^(kx) ; y '' =(y ' )'= (k*е^(kx) ) '=k*(е^(kx) ) '= k²*е^(kx) .

a*k²*е^(kx) + b*k*e^(kx)+c*e^(kx) =0 ;

е^(kx) * (ak² + bk +c) =0 ; е^(kx) ≠ 0 ⇒

a*k² + b*k + c = 0 ( характеристическое уравнение )

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *