Решить тест по этим критериям:

в № 1, 2, 9 выбрать правильный ответ и записать формулировку этой теоремы,

в № 3, 4, 7 дать подробное объяснение ответа;

в № 8– вывести правильное соотношение.

№ 5, 6, 10 – решить ;

ответ: -1/2·ln (1+y²/x²) +arctg (y/x)= ln(x)

Объяснение:это неоднородное уравнение. Сделаем замену переменных: y=u·x, y' = u'x + u.

u+u'·x+(u·x+x)/(u·x-x) = 0

или

u·x/(u·x-x)+u+u'·x+x/(u·x-x) = 0 , вынесем х за скобки и сократим дроби, получим:  u/(u-1) +u +u'x + 1/ (u-1)=0  ⇒   u'x= -1/(u-1)  - u/(u-1) -u   ⇒                             u'x= -(1+u²)/(u-1) ⇒Преобразуем уравнение так, чтобы получить уравнение с разделяющимися переменными: -(u-1)/(u²+1)·du =1/x ·dx. Проинтегрируем обе части, получим: -1/2· ln(u²+1) +arctg(u) = ln(x)   Но у=ux ⇒u=y/x, значит:  -1/2·ln (1+y²/x²) +arctg (y/x)= ln(x)

Пусть х км/ч - скорость одного поезда, тогда (х + 10) км/ч - скорость другого поезда. Уравнение:

400/х - 400/(х+10) = 2

400 · (х + 10) - 400 · х = 2 · х · (х + 10)

400х + 4000 - 400х = 2х² + 20х

2х² + 20х - 4000 = 0

Разделим обе части уравнения на 20

0,1х² + х - 200 = 0

D = b² - 4ac = 1² - 4 · 0,1 · (-200) = 1 + 80 = 81

√D = √ 81 = 9

х₁ = (-1-9)/(2·0,1) = (-10)/(0,2) = -50 (не подходит, т.к. < 0)

х₂ = (-1+9)/(2·0,1) = 8/(0,2) = 40 км/ч - скорость одного поезда

40 + 10 = 50 км/ч - скорость другого поезда

ответ: 40 км/ч и 50 км/ч.

Проверка:

400/40 - 400/50 = 10 - 8 = 2 (ч) - разница