Вспомним, что процентная концентрация или массовая доля w растворенного вещества Х в растворе - это отношение массы растворенного вещества m(Х) к массе раствора m(раствора): w = m(X) / m(раствор) Она часто задается в процентах: w = m(X) / m(раствор) * 100%
1 случай. Масса m1 кислоты в получившемся растворе: m1 = 2 w1 + 6 w2, где w1 и w2 - массовые доли кислоты в первом (2 кг) и втором (6 кг) растворе. Массовая доля w3 кислоты в получившемся растворе равна по условию 0,36. И она же равна w3 = m1 / (2 + 6) = m1 / 8 = (2 w1 + 6 w2) / 8 = 0.36 ( [2+6] в знаменателе - это масса получившегося раствора [2 кг+6 кг])
2 случай Возьмем для определенности равные массы, равные 1 кг. Масса m2 кислоты в получившемся растворе: m2 = w1 + w2 Массовая доля w4 кислоты в полученном растворе равна по условию 0,32. И она же равна w4 = m2 / 2 = (w1 + w2) / 2 = 0.32 (2 в знаменателе - это масса получившегося раствора [1 кг + 1 кг] )
Получаем систему уравнений относительно w1 и w2: (2 w1 + 6 w2) / 8 = 0.36 (w1 + w2) / 2 = 0.32
2 w1 + 6 w2 = 2.88 w1 + w2 = 0.64
Из второго уравнения w1 = 0.64 - w2 Подставляем это выражение для w1 в первое уравнение: 2 (0,64 - w2) + 6 w2 = 2.88 1.28 - 2 w2 + 6 w2 = 2.88 1.28 + 4 w2 = 2.88 4 w2 = 1.6 w2 = 0.4 = 40% Отсюда w1 = 0.64 - w2 = 0.64 - 0.4 = 0.24 = 24%
ответ: концентрация первого раствора - 24%, второго раствора - 40%
Примечание. Во втором случае можно брать не по одному килограмму, а по х килограммов раствора. Но это дела не меняет: m2 = x w1 + x w2 w4 = m2 / (x + x) = (x w1 + x w2) / 2x = x(w1 + w2) / 2x = (w1 + w2) / 2 (х + х) - это масса получившегося раствора. Как видим, х сокращается, и получаем тот же результат: w4 = (w1 + w2) / 2
Пусть х км в час - скорость автомобиля, у км в час- скорость трактора. За 3 часа автомобиль проехал 3х км. Трактор до момента встречи ехал на 15 мин. меньше. 3 часа - 15 мин = 2 часа 45 мин =2,75 часа и проехал путь, равный 2,75у км. Транспортные средства встретились, значит проехали путь от А до В. (3х+2,75у ) км - расстояние от А до В.
Автомобиль проехал (6х+5,5у) со скоростью х км в час и затратил на путь туда и обратно (6х+5,5y)/x часов. Трактор проехал (3х+2,75у) со скоростью у км в час и затратил (3х+2,75у)/у часов. По условию трактор находился в пути на 15 мин =1/4 часа меньше. Составляем уравнение: ((6х+5,5y)/x) - ((3х+2,75у)/у)= 1/4 . Делим каждое слагаемое числителя первой дроби на х, каждое слагаемое числителя второй дроби на у: 6+5,5 (у/х) - 3(х/у) -2,75=0,25. Пусть х/у=t, тогда у/х = 1/t 3t-(5,5/t)-3=0 3t²-3t-5,5=0 6t²-6t-11=0 D=36+264=300 t=(6+√300)/12=(6+10√3)/12=(3+5√3)/6 t=(6-√300)/12 <0 и не удовлетворяет условию задачи
w = m(X) / m(раствор)
Она часто задается в процентах:
w = m(X) / m(раствор) * 100%
1 случай.
Масса m1 кислоты в получившемся растворе: m1 = 2 w1 + 6 w2, где w1 и w2 - массовые доли кислоты в первом (2 кг) и втором (6 кг) растворе.
Массовая доля w3 кислоты в получившемся растворе равна по условию 0,36.
И она же равна w3 = m1 / (2 + 6) = m1 / 8 = (2 w1 + 6 w2) / 8 = 0.36
( [2+6] в знаменателе - это масса получившегося раствора [2 кг+6 кг])
2 случай
Возьмем для определенности равные массы, равные 1 кг.
Масса m2 кислоты в получившемся растворе: m2 = w1 + w2
Массовая доля w4 кислоты в полученном растворе равна по условию 0,32.
И она же равна w4 = m2 / 2 = (w1 + w2) / 2 = 0.32
(2 в знаменателе - это масса получившегося раствора [1 кг + 1 кг] )
Получаем систему уравнений относительно w1 и w2:
(2 w1 + 6 w2) / 8 = 0.36
(w1 + w2) / 2 = 0.32
2 w1 + 6 w2 = 2.88
w1 + w2 = 0.64
Из второго уравнения w1 = 0.64 - w2
Подставляем это выражение для w1 в первое уравнение:
2 (0,64 - w2) + 6 w2 = 2.88
1.28 - 2 w2 + 6 w2 = 2.88
1.28 + 4 w2 = 2.88
4 w2 = 1.6
w2 = 0.4 = 40%
Отсюда w1 = 0.64 - w2 = 0.64 - 0.4 = 0.24 = 24%
ответ: концентрация первого раствора - 24%, второго раствора - 40%
Проверка:
(2*0,24 + 6*0,4) / 8 = 0,36 = 36%
0,24 + 0,4 / 2 = 0,32 = 32%
Примечание.
Во втором случае можно брать не по одному килограмму, а по х килограммов раствора. Но это дела не меняет:
m2 = x w1 + x w2
w4 = m2 / (x + x) = (x w1 + x w2) / 2x = x(w1 + w2) / 2x = (w1 + w2) / 2
(х + х) - это масса получившегося раствора.
Как видим, х сокращается, и получаем тот же результат:
w4 = (w1 + w2) / 2
За 3 часа автомобиль проехал 3х км.
Трактор до момента встречи ехал на 15 мин. меньше.
3 часа - 15 мин = 2 часа 45 мин =2,75 часа и
проехал путь, равный 2,75у км.
Транспортные средства встретились, значит проехали путь от А до В.
(3х+2,75у ) км - расстояние от А до В.
Автомобиль проехал (6х+5,5у) со скоростью х км в час и затратил на путь туда и обратно
(6х+5,5y)/x часов.
Трактор проехал (3х+2,75у) со скоростью у км в час и затратил
(3х+2,75у)/у часов.
По условию трактор находился в пути на 15 мин =1/4 часа меньше.
Составляем уравнение:
((6х+5,5y)/x) - ((3х+2,75у)/у)= 1/4 .
Делим каждое слагаемое числителя первой дроби на х, каждое слагаемое числителя второй дроби на у:
6+5,5 (у/х) - 3(х/у) -2,75=0,25.
Пусть х/у=t, тогда у/х = 1/t
3t-(5,5/t)-3=0
3t²-3t-5,5=0
6t²-6t-11=0
D=36+264=300
t=(6+√300)/12=(6+10√3)/12=(3+5√3)/6
t=(6-√300)/12 <0 и не удовлетворяет условию задачи
t=x/y=(3+5√3)/6≈1,94 раза