Спо вероятности 1) пусть в отделе 10 сотрудников. какова вероятность, что хотя бы у двух человек дни рождения в один день? 2) маша выходит на работу вовремя с вероятностью 0.8. если она вышла вовремя, то она придет к началу совещания с вероятностью 0.9, а если вышла позже - с вероятностью 0.5. найти вероятностью, что она вышла позже, если она пришла к началу совещания. 3) какие из этих случайных величин являются дискретными? количество полезных приложений в вашем смартфоне время, проведенное в социальных сетях число людей в очереди за новым iphone вес, набранный за время новогодних праздников 4) в интернет-магазине три оператора call-центра. в любой момент каждый оператор занят с вероятностью 0.8. причем, его занятость не зависит от занятости других операторов. вы сделали заказ в этом магазине, и хотите уточнить детали у оператора. с какой вероятностью в момент вашего звонка все операторы будут заняты? 5) в вашем городе работают два мобильных приложения по вызову такси. в первом можно найти такси в течение 5 минут с вероятностью 0.7, а во втором - с вероятностью 0.8. с какой вероятностью вы сможете найти в течении пяти минут такси хотя бы в одном из приложений?
1) 3⁵⁸+4³⁵ последняя цифра 3
2) 42⁴³-37³⁸ последняя цифра 9
Объяснение:
Для записи того, что мы имеем ввиду последнюю цифру числа используем обозначения .. и mod 10 (остаток от деления на 10)
1) 3¹=3=..3, 3²=9=..9, 3³=27=..7, 3⁴=81=..1,
3⁵=3⁴·3¹=..3 3⁶=3⁴·3²=..9 3⁷=3⁴·3³=..7 3⁸=3⁴·3⁴=..1
Поэтому 3⁴ⁿ⁺¹=..3, 3⁴ⁿ⁺²=..9, 3⁴ⁿ⁺³=..7, 3⁴ⁿ⁺⁴=3⁴ⁿ⁺⁰=..1
4¹=4=..4, 4²=16=..6,
4³=64=..4, 4⁴=256=..6, ...
Поэтому 4²ⁿ⁺¹=..4, 4²ⁿ⁺²=4²ⁿ⁺⁰=..6
58=56+2=4·14+2, 35=34+1=2·17+1
(3⁵⁸+4³⁵) mod 10=(3⁵⁶⁺²+4³⁴⁺¹) mod 10=..9+..4=..13=..3
2) Последняя цифра хⁿ зависит только от степени последней цифры числа, поэтому вместо 42 рассмотрим 2
2¹=2=..2, 2²=4=..4, 2³=8=..8, 2⁴=16=..6,
2⁵=32=..2 2⁶=64=..4 2⁷=128=..8 2⁸=256=..6
Поэтому 2⁴ⁿ⁺¹=..2, 2⁴ⁿ⁺²=..4, 2⁴ⁿ⁺³=..8, 2⁴ⁿ⁺⁴=2⁴ⁿ⁺⁰=..6
Последняя цифра хⁿ зависит только от степени последней цифры числа, поэтому вместо 37 рассмотрим 7
7¹=7=..7, 7²=49=..9, 7³=343=..3, 7⁴=2401=..1,
7⁵=7⁴·7¹=..7 7⁶=7⁴·7²=..9 7⁷=7⁴·7³=..3 7⁸=7⁴·7⁴=..1
Поэтому 7⁴ⁿ⁺¹=..7, 7⁴ⁿ⁺²=..9, 7⁴ⁿ⁺³=..3, 7⁴ⁿ⁺⁴=7⁴ⁿ⁺⁰=..1
43=40+3=4·10+3, 38=36+2=4·9+2
(42⁴³-37³⁸) mod 10=(2⁴³-7³⁸) mod 10=(2⁴⁰⁺³-7³⁶⁺²) mod 10=..8-..9=..18-..9=..9
1) Найди дискриминант квадратного уравнения 8x²+4x+12=0.
D = b² - 4ac = 16 - 4·8·12 = 16 - 384 = -368.
2) Найди корни квадратного уравнения x²+7x+12=0.
По т., обратной к т. Виетта, имеем х₁ = -4; x₂ = -3.
3) Реши квадратное уравнение 2(5x−15)²−7(5x−15)+6=0.
Рациональным будет метод введения новой переменной.
Пусть 5x−15 = t, тогда имеем:
2t²−7t+6=0; D = b² - 4ac = 49 - 4·2·6 = 49 - 48 = 1; √D = 1
t₁ = (7 + 1)/4 = 2; t₂ = (7 - 1)/4 = 1,5.
Возвращаемся к замене:
5x−15 =2; 5x = 2 + 15; 5x = 17; x = 17/5; x₁ = 3,4.
5x−15 = 1,5; 5x = 1,5 + 15; 5x = 16,5; x = 16,5/5; x₂ = 3,3.
ответ: 3,4; 3,3.
4)Найди корни уравнения −8,9(x−2,1)(x−31)=0.
x−2,1 = 0 или x−31 = 0.
х₁ = 2,1 х₂ = 31.
ответ: 2,1; 31.
5) Сократи дробь (x−4)²/(x²+2x−24) = (x−4)²/((x + 6)(x − 4)) = (х - 4)/(х + 6).
Полученная дробь: (х - 4)/(х + 6).
6)Сократи дробь (5x²−32x+12)/(x³−216).
5x²−32x+12 = 0; D = b² - 4ac = 1024 - 480 = 784; √D = 28.
x₁ = (32 + 28)/10 = 6; x₂ = (32 - 28)/10 = 0,4
Имеем: (5x²−32x+12)/(x³−216) = ((x - 6)(5x - 2))/((x - 6)(x² + 6x + 36)) =
= (5x - 2)/(x² + 6x + 36).
7) Разложи на множители квадратный трехчлен x² + 8x + 15.
x² + 8x + 15 = 0; x₁ = -3; x₂ = -5.
имеем, x² + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5).