вы моя последняя надежда, добавте ответ хотя бы на 1 вопрос...

Рассмотрим выражение под корнем:
пусть f(x)=(5-x)(x+8)
Тогда найдём сначала E(f).
f(x)=(5-x)(x+8)= -x^2 - 3x + 40. Очевидно что графиком этой функции является квадратичная парабола с ветвями направленными вниз. Найдём х при котором парабола достигает своего наибольшего значения (вершину параболы):
х0 = -В/2А = 3/(-2)=-3/2
Теперь найдём это значение:
у0 = f(x0) = -9/4 + 9/2 + 40 = 40 9/4 = 169/4.
Значит E(f)= (-бесконечность; 169/4]
Из этого легко найти E(y) = [0; 13/2].
P.S. область значения обозначается через E(y), а то что вы написали - это опласть определения

0,5sin2xctgx-cosx=sin^2x <=> 0,5*2sinxcosx*cosx/sinx-cosx-sin^2x=0 <=> cos^2x-sin^2x-cosx=0 <=> cos^2x-(1-cos^2x)-cosx=0 <=> 2cos^2x-cox-1=0;
Пусть cosx=t,
Имеем: 2t^2-t-1=0; D=9; t=1, t=-1/2.
Имеем два уравнения: cosx=1 и cosx=-1/2.
1) cosx=1 <=> x=2pi*k, k£Z;
2) cosx=-1/2 <=> x=+-arccos(-1/2)+2pi*k, k£Z <=> x=+-(pi-pi/3)+2pi*k <=> x=+-2pi/3+2pi*k, k£Z.
Нам нужны углы от [0; Пи].
Обозначив нужные углы на единичной окружности имеем:
Х€{2pi*k; pi/3+2pi*k; 2pi/3+2pi*k}.