1) через точку пересечения диагоналей квадрата mnpq(точку о) проведён перпендикуляр od к его плоскости. od=8см,mn=12см. вычислите: а) расстояние от точки d до прямой np. б) площади треугольника mdn и его проекции на плоскость квадрата. в )расстояние между прямыми od и mn 2)основанием прямоугольного параллелепипеда abcda1b1c1d1 является квадрат,диагональ которого равна (12 корней из 2)дм. диагональ боковой грани параллелепипеда равна (8 корней из 3)дм. вычислите градусную меру двугранного угла d1abd

Подобные задачи встречаются довольно часто, как по отдельности, так и пакетом. . 

1) Через точку пересечения диагоналей квадрата MNPQ (точку О) проведён перпендикуляр OD к его плоскости. OD=8см, MN=12см. 

Вычислите: 

а) расстояние от точки D до прямой NP. 

б) площади треугольника MDN и его проекции на плоскость квадрата. 

в )расстояние между прямыми OD и MN

Решение:. 

Вспомним, что диагонали квадрата равны, пересекаются под прямым углом и  точкой пересечения делятся пополам. 

а) Расстояние от точки до прямой - длина отрезка, проведенная перпендикулярно из точки к прямой.  Расстояние от D до прямой NP - наклонная DH, проведенная перпендикулярно NP.

По т.о 3-х перпендикулярах ОН⊥MP; DH ⊥NP⇒

ОН=КN=MN:2=6 см 

⊿ DOH  - египетский - это следует из отношения его катетов ОН:OD=3:4; его гипотенуза DH=10 см- это и есть искомое расстояние. (  можно проверить по т.Пифагора).

б) Расстояния от D до каждой из сторон  и  от ОD  до каждой из вершин квадрата соответственно равны, т.к. DO проецируется в центр основания, О - центр вписанной ( и описанной) окружности ⇒ ОК=ОH=6 см

∆ MDN- равнобедренный, его высота DK=DH=10 см

S (∆ MDN)=DK•KN=10•6=60 см²

Проекция ∆ MDN  на плоскость квадрата - это прямоугольный ∆ MON.  Его основание МN - общее с ∆ MDN, вершина D ∆ MDN проецируется в точку пересечения диагоналей, образующих прямой угол, ОM=ON как половины диагоналей квадрата.  

MN=12 см, высота ОК=6 см

S (∆ MON)=OK•MN:2=36 см²

в) 

DO и MN- скрещивающиеся прямые,  расстояние между ними определяется общим перпендикуляром ОК, а так как он равен половине длины стороны квадрата (см. выше), то это расстояние равно 6 см. 

––––––––––––

2) Основанием прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является квадрат, диагональ которого равна 12√2 дм. Диагональ боковой грани параллелепипеда равна 8√3 дм. 

Вычислите градусную меру двугранного угла D1ABD

--------------------

Решение здесь  несложное и короткое, в отличие от пояснения. 

Сделаем рисунок. 

Двугранный угол, градусную меру которого нужно вычислить, составлен плоскостью ∆ D1АВ и плоскостью ∆ DАВ. Первый  лежит в плоскости диагонального сечения параллелепипеда, второй - в плоскости квадрата,  его основания.

Величина двугранного угла равна его линейному углу, который образован двумя лучами, проведенными в каждой из плоскостей перпендикулярно одной точке на линии их пересечения.

АD1⊥АВ,  АD⊥АВ⇒ искомый угол -  угол D1АD. 

Диагональ квадрата делит его на два равнобедренных  прямоугольных треугольника. АD=АВ, и ВD =12√2

АD можно найти 

а) по т.Пифагора; 

б) через синус (косинус) 45º  или 

просто вспомнить, что диагональ квадрата ( как и гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника) равна а√2, где а - сторона квадрата или катет равнобедренного прямоугольного треугольника. ⇒

АD=12

cos ∠DAD1=DA:AD1

cos ∠DAD1=12:8√3=(√3):2 - это косинус 30º - искомого угла.