1. Дан треугольник АВС. Известно, что к плоскости этого треугольник проведена высота АК, равная 15 см. Найти косинус угла КАС, если известно, что АС равна 13 см. Доказать, что АК принадлежит плоскости АВС и найти проекцию АК на АВ​

а) проекция угла КВС - это АВС. КВ перпендикулярно ВС => АВ перпендикулярно ВС

б) АК перпендикулярно АС => 2 эти прямые образуют плоскость. АС принадлежит АВС => АКС перпендикулярно АВС

в) AB^2 = AC^2 - BC^2 = 13^2 - 5^2 = (13+5)(13-5) = 18 * 8 = 80+64 = 144 => AB = 12 см

Угол КАВ = 90 град. , т. к. АК перпендикулярна к плоскости АВС. Угол АКВ=45 град. , => угол КВА=45 град. => АК=АВ = 12 см

2) Опусти высоту ВК треугольника АВС на основание АС. Получишь 2 прямоугольных треугольника АВК и КВС с катетами АВ=ВС = 20 см и АК=КС = АС/2 = 24/2=12 см => Высота ВК^2 = АВ^2 - AK^2 = 20^2-12^2 = (20+12)(20-12) =32*8 = 240+16=256 cм^2 => ВК =16 см.

А теперь рассмотри другой треугольник. Опусти из вершины В перпендикуляр на плоскость. Пусть это будет точка М. В треугольнике ВМК угол ВМК=90 град (по построению) , угол ВКМ=30 град. ВК - гипотенуза треугольника ВКМ. Против угла в 30 град. лежит сторона =1/2 гипотенузы => ВМ = 1/2 ВК = 16/2=8 см

3) По заданному построению углы АВС=АСВ => АВ=АС, а по условию АВ=ВС => АВ=ВС=АС и углы А=В=С=180/3=60 град.