1. в треугольнике abc проведена медиана am. точки p на отрезке am и q на стороне ac выбраны так, что ap: pm= 1: 2 , aq: qc = 1: 2. докажите, что точки b, p, q лежат на одной прямой.
2. в квадрате abcd на сторонах ab и bc построены точки k и l соответственно, причем bk= bl. отрезок bh - высота в треугольнике kbc. докажите, что угол dhl = 90°
1. Дано, что в треугольнике ABC проведена медиана AM, а также точки P и Q на отрезках AM и AC соответственно таким образом, что AP:PM = 1:2 и AQ:QC = 1:2. Нам нужно доказать, что точки B, P и Q лежат на одной прямой.
Для начала, построим рисунок с данной информацией. Треугольник ABC соединим с помощью медианы AM, и проведем отрезки AP и AQ.
Чтобы доказать, что точки B, P и Q лежат на одной прямой, мы можем воспользоваться теоремой о трех пропорциональных отрезках (ОТП). Согласно данной теореме, если отрезки разрезают одну сторону треугольника и параллельны двум другим сторонам, то они разрезают и третью сторону тоже.
В данной задаче, рассмотрим треугольник AMQ. Мы знаем, что AP:PM = 1:2, то есть AP равно 1/3 от AM, а PM равно 2/3 от AM. Также, мы знаем, что AQ:QC = 1:2, то есть AQ равно 1/3 от AC, а QC равно 2/3 от AC.
Теперь рассмотрим треугольник ABC. Мы знаем, что медиана AM делит сторону BC пополам, поэтому отрезок BM равен отрезку CM. Из этого следует, что AM является высотой треугольника APC.
Теперь, смотрим на треугольник AMQ. Мы знаем, что AM - это медиана треугольника ABC, поэтому MQ является половиной стороны AC.
Теперь мы имеем факт, что AP является 1/3 от AM, AM является медианой, MQ является половиной стороны. Данные факты указывают на существование подобных треугольников.
Для доказательства того, что B, P и Q лежат на одной прямой, нам нужно установить пропорциональность отрезков BP и PQ, так как отрезки разрезают одну сторону треугольника и параллельны другим сторонам.
Для этого, обратимся к подобию треугольников AMP и AMQ.
Как уже упоминалось, AM является медианой треугольника ABC, а MQ является половиной стороны AC. Значит, треугольники AMP и AMQ подобны. Из этого следует, что отношение отрезков AP и AQ равно отношению отрезков PM и MQ.
Так как AP:PM = 1:2, а в треугольнике AMQ отрезки AP и AQ относятся также, то есть AP:AQ = 1:2, получаем, что PM:MQ = 1:2.
Теперь обратимся к треугольнику BPC. Мы знаем, что BM и CM равны, а значит треугольники AMP и BPC подобны. Поэтому отношение отрезков BP и PM равно отношению отрезков CP и MP.
Так как PM:MQ = 1:2, а в треугольнике BPC отрезки PM и MQ относятся также, то есть PM:MQ = 1:2, получаем, что BP:PQ = 1:2.
Вот мы и доказали, что отрезки BP и PQ разрезают одну сторону треугольника и параллельны другим сторонам, следовательно, они также разрезают и третью сторону. То есть, точки B, P и Q лежат на одной прямой.
2. Дано, что в квадрате ABCD на сторонах AB и BC построены точки K и L соответственно, причем BK = BL. Отрезок BH является высотой в треугольнике KBC. Нам нужно доказать, что угол DHL = 90°.
Для начала, построим рисунок с данной информацией. Квадрат ABCD соединим точками K и L на сторонах AB и BC соответственно. Отрезок BH является высотой треугольника KBC.
Первым шагом для решения этой задачи будет доказательство того, что треугольники DBH и DLH подобны.
Рассмотрим треугольник DBH. Так как у нас квадрат ABCD, а отрезок BH является высотой в треугольнике KBC, то отрезок BH является также высотой в треугольнике ABC.
Это значит, что угол BDA прямой, так как BH является высотой треугольника ABC и она перпендикулярна стороне AD.
Теперь рассмотрим треугольник DLH. У нас есть факт, что BK = BL. Из этого следует, что угол BKL равен углу BLK, так как у них есть общая сторона и равные противолежащие углы.
Теперь смотрим на треугольник KBC. Он является прямоугольным, так как у нас есть квадрат ABCD.
Из этих фактов следует, что угол KBL также прямой, так как угол BKL прямой и угол BLK прямой.
Теперь смотрим на треугольник DLH. Мы уже доказали, что углы BHK и BDK прямые. Значит, угол DHK также прямой, так как у них есть общая сторона и равные противолежащие углы.
Теперь у нас есть два треугольника DBH и DLH, у которых один угол прямой, один угол равен, и общая сторона. Это означает, что эти два треугольника подобны.
Как следствие, аналогичные углы в этих треугольниках будут равными. То есть, угол DHL также будет прямым, так как у треугольника DLH есть прямой угол DHK, и углы DHK и BHK равны.
Вот мы и доказали, что угол DHL = 90°.
Надеюсь, что это решение понятно и поможет вам понять данные задачи. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их. Удачи в учебе!