2. Дискотеки проводитимуть на площадці, що має форму шести¬кутника, у якого рівні всі сторони й кути. Визначте градусну міру кожного кута цього шестикутника й площу танцювального залу, враховуючи те, що місце для танців — коло, вписане в цей шестикутник, радіус кола дорівнює 5 м, а сторона шестикутника 20 м
BC =a ==>? , AC =b ==>? , AB =c ==>?
Точка пересечения AD и BE обозначаем через O .
Биссектриса BO одновременно и высота , значит ΔABD равнобедренный (BD =AB) :
BD =BC/2 =AB⇒BC=2AB⇔ a =2c.
CE/EA =BC/AB = 2;
EA =x ; CE=2x ; AC =b=3x .
Можно использовать формулы для вычисления медиан и биссектрис :
a² + ( 2AD)²=2(c² +b²) (1) ;
BE² =AB*BC - AE*EC (2) .
(2*104)² =2(c² +(3x)²) -(2c)² * * * * * a =2c * * * * *
104² = c*2c - x*2x . * * * * * c² =x² +5408 = x² +26²*8 * * * * *
(2*104)² =18x² -2c² ;
104² = -2x² +2c² . * * * * * суммируем * * * * *
(4x)² =(2*104)² +104² ;
4x =104√5;
x =26√5 .
AC =3x =3*26√5 =78√5 .
c² =(26√5)² +26²*8 ;
c =26√13.
a =2c =52√13.
ответ: BC =52√13 ; AC =78√5 ; AB =26√5 .
В треугольнике BAD биссектриса перпендикулярна стороне, то есть AB = BD; (и между прочим, AM = MD), поскольку D - середина BC, то BC = 2*AB; отсюда по свойству биссектрисы AE/EC = AB/BC = 1/2; то есть EC = 2*AE;
Дальше можно действовать двумя Если известны теоремы Чевы и Ван-Обеля, то быстро находится BM/ME = 3; второй это показать - надо провести через точку E прямую II BC, до пересечения с AD в точке K;
Ясно, что AK/KD = AE/EC = 1/2; откуда KM = AD/2 - AD/3 = AD/6, и KM/MD = 1/3; из подобия треугольников KME и BMD следует BM = 3*ME;
Теперь есть все, чтобы найти стороны. AM = 84; BM = 126; ME = 42;
из прямоугольного треугольника AMB легко находится AB = 42√13;
из AME => AE = 42√5;
BC = 2*AB = 84√13;
AC = 3*AE = 126√5;