20 через точку a проведена в круг касательной ак (к - точка соприкосновения) и секущая, которая пересекает окружность в точках е и f. найдите отрезок автофокуса, если ak = 4 см, ae = 8 см.
В ΔАВС катеты АВ = ВС ⇒ ΔАВС равнобедренный и ∠ВСА = ∠ ВАС = 45°. Тогда ∠CAD = 135° - 45° = 90° и ∠АСD = 105° - 45° = 60°.
B ΔCAD ∠CDA = 90° - 60° = 30° и катет АС = СD · sin 30° = √32 · 0.5 = 2√2.
В ΔАВС катет АВ = АС · сos 45° = 2√2 · 0.5√2 = 2
ответ: 2
5.
Известно, что для выпуклого четырёхугольника верно соотношения
Р > d₁ + d₂ > 0.5P
1-я строка таблицы: Р = 32 d₁ = 16 d₂ = 18
d₁ + d₂ = 16+18 = 34 и получаем 32 < 34 или Р < d₁ + d₂
эта фигура не является выпуклым четырёхугольником
2-я строка таблицы: Р = 28 d₁ = 12 d₂ = 10
d₁ + d₂ = 12+10 = 22 и получаем 28 > 22 или Р > d₁ + d₂
0.5P = 14 и d₁ + d₂ > 0.5P
эта фигура является выпуклым четырёхугольником, его периметр 28
3-я строка таблицы: Р = 40 d₁ = 28 d₂ = 26
d₁ + d₂ = 28+26 = 54 и получаем 40 < 54 или Р < d₁ + d₂
эта фигура не является выпуклым четырёхугольником
4-я строка таблицы: Р = 58 d₁ = 36 d₂ = 22
d₁ + d₂ = 36+22 = 58 и получаем 58 = 58 или Р = d₁ + d₂
эта фигура не является выпуклым четырёхугольником
ответ: Р = 28
7.
Известно, что внутренний угол правильного шестиугольника равен 120°. Поскольку стороны шестиугольника равны, то треугольник на рисунке равнобедренный, и углы при основании равны 0,5 ·(180° - 120°) =30°.
Тогда ∠х = 120° - 30 = 90°
ответ: 90°
9.
Найдём площадь правого треугольника со сторонами 17, 17 и 16 по формуле Герона
Периметр Р = 16 + 17 + 17 = 50
Полупериметр р = 25
25 - 17 = 8
25 - 16 = 9
S₁ = √(25 · 8 · 8 · 9) = 120
Поскольку основание левого треугольника равно 17. так же, как и основание правого треугольника. и высоты этих треугольников, опущенные на одинаковые основания, равны, то площади этих треугольников равны. то есть
В плоскости, на равном расстоянии от вершин треугольника, находится центр окружности, описанной около этого треугольника, при этом прямой угол опирается на дугу 180° (вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается), а это значит, что гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром окружности, описанной около этого треугольника, а середина гипотенузы является центром этой окружности.
Следовательно, если из середины гипотенузы восстановить перпендикуляр над плоскостью треугольника, то точка А будет находиться на этом перпендикуляре на расстоянии 4 от плоскости.
1) Длина гипотенузы треугольника:
с = √(8²+14²) = √(64+196) = √260
4) Расстояние d от точки А до вершин треугольника, согласно теореме Пифагора:
3.
В ΔАВС катеты АВ = ВС ⇒ ΔАВС равнобедренный и ∠ВСА = ∠ ВАС = 45°. Тогда ∠CAD = 135° - 45° = 90° и ∠АСD = 105° - 45° = 60°.
B ΔCAD ∠CDA = 90° - 60° = 30° и катет АС = СD · sin 30° = √32 · 0.5 = 2√2.
В ΔАВС катет АВ = АС · сos 45° = 2√2 · 0.5√2 = 2
ответ: 2
5.
Известно, что для выпуклого четырёхугольника верно соотношения
Р > d₁ + d₂ > 0.5P
1-я строка таблицы: Р = 32 d₁ = 16 d₂ = 18
d₁ + d₂ = 16+18 = 34 и получаем 32 < 34 или Р < d₁ + d₂
эта фигура не является выпуклым четырёхугольником
2-я строка таблицы: Р = 28 d₁ = 12 d₂ = 10
d₁ + d₂ = 12+10 = 22 и получаем 28 > 22 или Р > d₁ + d₂
0.5P = 14 и d₁ + d₂ > 0.5P
эта фигура является выпуклым четырёхугольником, его периметр 28
3-я строка таблицы: Р = 40 d₁ = 28 d₂ = 26
d₁ + d₂ = 28+26 = 54 и получаем 40 < 54 или Р < d₁ + d₂
эта фигура не является выпуклым четырёхугольником
4-я строка таблицы: Р = 58 d₁ = 36 d₂ = 22
d₁ + d₂ = 36+22 = 58 и получаем 58 = 58 или Р = d₁ + d₂
эта фигура не является выпуклым четырёхугольником
ответ: Р = 28
7.
Известно, что внутренний угол правильного шестиугольника равен 120°. Поскольку стороны шестиугольника равны, то треугольник на рисунке равнобедренный, и углы при основании равны 0,5 ·(180° - 120°) =30°.
Тогда ∠х = 120° - 30 = 90°
ответ: 90°
9.
Найдём площадь правого треугольника со сторонами 17, 17 и 16 по формуле Герона
Периметр Р = 16 + 17 + 17 = 50
Полупериметр р = 25
25 - 17 = 8
25 - 16 = 9
S₁ = √(25 · 8 · 8 · 9) = 120
Поскольку основание левого треугольника равно 17. так же, как и основание правого треугольника. и высоты этих треугольников, опущенные на одинаковые основания, равны, то площади этих треугольников равны. то есть
S₂ = S₁ = 120
Тогда площадь изображённого треугольника
S = S₁ + S₂ = 120 + 120 = 240
ответ: 240
9
Объяснение:
В плоскости, на равном расстоянии от вершин треугольника, находится центр окружности, описанной около этого треугольника, при этом прямой угол опирается на дугу 180° (вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается), а это значит, что гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром окружности, описанной около этого треугольника, а середина гипотенузы является центром этой окружности.
Следовательно, если из середины гипотенузы восстановить перпендикуляр над плоскостью треугольника, то точка А будет находиться на этом перпендикуляре на расстоянии 4 от плоскости.
1) Длина гипотенузы треугольника:
с = √(8²+14²) = √(64+196) = √260
4) Расстояние d от точки А до вершин треугольника, согласно теореме Пифагора:
d² = (√260/2)² + 4² = 260/4 + 16 = 65 + 16 = 81
d = √81 = 9
ответ: 9