4. Из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии 10 см, проведены две наклонные под углом 30° к плоскости, причем их проекции образуют угол 120°. Найдите расстояние между концами наклонных.

[1] В треугольнике с углами 45, 90 стороны относятся как 1:1:√2

(равнобедренный прямоугольный)

3) n=m

[2] Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90

В 1 градусе 60 минут (1° = 60')

2) 37°33' +52°27' =(37+52)° (33+27)' =89°60' =90°  

[3] Треугольники подобны по двум углам. Чтобы доказать их равенство, достаточно доказать равенство соответственных (т.е. лежащих против равных углов) сторон.

2) MN=AP  

[4] В треугольнике с углами 30, 90 стороны относятся как 1:√3:2

1) с= 0,5 b  

[5] Биссектриса - ГМТ равноудаленных от сторон угла.

(расстояние измеряется длиной перпендикуляра)

1) биссектриса  

[6] Медиана из прямого угла (т.е. проведенная к гипотенузе) равна половине гипотенузы.

2) медиана

Решение.
Возможны два случая взаимного расположения прямой и окружностей.

1. Пусть окружность с центром О1 имеет радиус r , окружность центром O2 имеет радиус R, а окружность с центром O имеет радиус x и касается двух данных окружностей и их общей внешней касательной a.

Обозначим через A, B и C точки касания окружностей с прямой a, а через K, M и N — точки касания самих окружностей. Отрезки O1A, O2B и OC перпендикулярны прямой a как радиусы, проведенные в точки касания.

Опустим перпендикуляр O1D из центра меньшей из данных окружностей на радиус O2B большей окружности и перпендикуляры OE и OF из точки O на радиусы O1A и O2B. Поскольку O1A // (палочи прямые) O2B , точки E, O и F лежат на одной прямой, а так как O1DFE — прямоугольник, то O1D=EF.

Кроме того: O1O = r+x, O1O2 = r+R , O2O = R+x , O1E = r-x , O2D = R-r , O1D =EF=EO+OF , O2F = R-x.

Далее имеем:

(R+r)^2 - (R-r)^2 (все выражение под корнем) = (r+x)^2 - (r-x)^2(все выражение под корнем) = (R+x)^2 - (R-x)^2;

2*Rx (Rx под корнем) = 2* rx (rx под корнем) + 2*Rx (Rx под корнем)

2. Пусть теперь окружность с центром O1 имеет радиус R, окружность с центром O имеет радиус r, а окружность центром O2 имеет радиус x и касается двух данных окружностей и их общей внешней касательной a (см. тот же рисунок). Аналогично случаю 1 имеем:

(x+R)^2 - (x-R)^2 (все выражение под корнем) = (R+r)^2 - (R-r)^2 (все выражение под корнем) + (x+r )^2 - (x-r)^2(все выражение под корнем) ;

2*Rx(Rx под корнем) = 2* Rr(Rr под корнем) +2*rx(rx под корнем)