ГЕОМЕТРИЯ 10 КЛАСС
Задание №1.
Дан ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед. Причем АК: КВ=3:2, А1Т: ТD1=1:4. Разложите векторы:
а) (AK) ;
б) (AТ) ;
в) (AC) ;
г) (DТ) ;
д) (DK) ;
е) (АС1);
ж) (КТ)
по векторам (АB),(АD),(АА1 ).

Задание №2.
Дан АВСD – тетраэдр. Точка Т – середина ребра CB, H - точка пересечения медиан треугольника АВС. Разложите векторы:
а) (DT);
б) (AT);
в) (CH)
по векторам: (CA),(CB),(CD).

1) Высота  треугольника есть расстояние от вершины угла до прямой, содержащей противоположную сторону. Высота равнобедренного треугольника, проведенная из угла, противоположного основанию, является  его  биссектрисой, и медианой.  2) Высота тупоугольного треугольника, проведенного из вершины острого угла, проходит вне его и пересекает продолжение противолежащей стороны.

                                          *  *  *

 Углы при основании равнобедренного треугольника равны (свойство) ⇒ ∠СКН=∠СВН=(180°-120°):2=30° Боковые стороны ∆ ВСК  противолежат углу 30° и как гипотенузы прямоугольных ∆ ВСН и ∆ КСН  вдвое больше их общего катета СН. СК=СВ=12 см.

Угол КСР - смежный углу С и дополняет его до развернутого угла.  ∠КСР=180°-120°=60°. Так как СН биссектриса угла ВСК, ∠НСК=120°:2=60°.  ∆ РСК=∆ НСК по острому углу и гипотенузе. ⇒ РС=СН=6 см.

1.Пусть MN - средняя линяя, M лежит на АB, N - на CD. Ясно, что точка О лежит на MN, так как она равноудалена от AD и BC;
2.Пусть ОК перпендикулярно АВ. Ясно, что ОК = 2*20,25/5 = 8,1;
3.Пусть ОР перпендикулярно CD. Ясно, что ОР = r = d/2 = 1,5 (радиус окружности);
4.Пусть СН - высота трапеции ABCD к AD. Ясно, что СН = d = 3;

Вот, теперь можно приступить к решению :)
Треугольник CHD - прямоугольный с катетом CH = 3 и гипотенузой CD = 5, то есть это "египетский" треугольник, что очень упрощает расчеты. Ясно, что HD = 4; (в решении это не пригодится).
В прямоугольном треугольнике PON угол PON равен углу HCD, поскольку ON перпендикулярно CH и OP перпендикулярно CD, поэтому треугольник PON подобен CHD, то есть это тоже "египетский" треугольник, и ON/PO = CD/CH = 5/3; ясно, что ON = 5*1,5/3 = 2,5;
В прямоугольном треугольнике KOM угол KOM равен углу PON,просто потому, что трапеция ABCD равнобедренная и углы при основаниях у неё равны (можно так же провести высоту из В на AD и увидеть равенство угла KOM и угла между высотой и AB, а этот угол очевидно равен углу CHD - это тупой угол при малом основании МИНУС 90 градусов, и угол CHD - тоже). Поэтому треугольник KOM тоже подобен CHD, то есть это тоже "египетский" треугольник, и MO/OK = CD/CH = 5/3; ясно, что ON = 5*8,1/3 = 13,5;
Средняя линяя MN = MO + ON = 13,5 + 2,5 = 16.