4. В ромбе ABCD проведена диагональ АС. Найдите LABC, если известно, что LACD = 20°.

Сумма углов четырехугольника =360°

В четырехугольнике ОКЕС углы ЕКО=ЕСО=90° ( свойство радиуса, проведенного в точку касания)

Угол КЕС=360°-2•90°-120°=60°

По свойству отрезков касательных из одной точки КЕ=СЕ. 

∆ КЕС - равнобедренный, его углы при КС равны (180°-60°):2=60° - 

∆ КЕС равносторонний. 

∆ КОС - равнобедренный ( стороны - радиусы). 

Углы при КС=90°- 60°=30°

КЕ=СЕ, КО=СО, ЕО - общая. ∆ ЕКО=∆ ЕСО. 

ЕО - биссектриса угла  КЕС. 

Угол ОЕС =30°

∆ ОЕС - прямоугольный.  

Радиус ОС ( катет) противолежит углу 30°. ⇒

       ОЕ=2•OC=12 см (свойство угла 30°).

КА=СА, ЕА медиана и высота ∆ КЕС,⇒ ЕО ⊥ АС. 

В прямоугольном  Δ АОС угол ОСА=30°⇒ 

ОА=ОС•sin30°=6•0,5=3 см

Дано: 
ΔCBD остроугольный  и равнобедренный ;
СB = CD ;
BB₁ ┴ CD ;
DD₁ ┴ CB ;
∠BPD =126°( P - точка пересечения высот BB₁ и DD₁).

∠С -? , ∠B =∠D -?      * * * иначе  ∠СBD = ∠СDB - ?  * * *

∠С +∠B +∠D =180 ; 
ΔCBD равнобедренный ,поэтому  
∠B = ∠D (как углы при основании равнобедренного треугольника)
 ∠B = ∠D =(180°-∠С)/2  =90°  - ∠С /2 .
Т.к. треугольника  CBD  остроугольный ,то точка  P ( ортоцентр )  пересечения высот BB₁ и DD₁ находится внутри  него .
В четырехугольнике  PB₁СD₁ :
∠С + ∠B₁PD₁ + ∠ PB₁С +∠ PD₁С =360°⇔∠С +∠B₁PD₁+90°+ 90°=360°⇔   ∠С +∠B₁PD₁= 180° , но ∠B₁PD₁ =∠BPD  как  вертикальные углы  ,   следовательно :
∠С+∠BPD =180°  ⇔ ∠С =180° - 126° =54°.
С другой стороны 
∠С +∠B +∠D =180° ⇔ ∠B=∠D =90° - ∠С/2 = 90° -54°/2 =90°-27° =63°.
* * *  ∠B +∠D =∠BPD * * *

ответ : 54°, 63°, 63°.