Пусть - длины сторон и медиан треугольника ABC, Воспользовавшись формулу и то, что , получаем, что нужно доказать неравенство. Подставив вместо р и r, получим Упрощать здесь не буду, но напишу упрощенный Или имеем такое равенство:
Пусть расстояния от точки G к сторонам a, b, c треугольника АВС. Очевидно, что Также имеем. Аналогично,
Достаточно доказать неравентсво , которое равносильна неравенству, что выражает отношение между средним арифметическим и средним гармоническим 3 положительных чисел:
Вообще просто. Так как известно что стороны в четыре раза меньше - тогда получается, что отсечен подобный треугольник с коэффициентом подобия = 1/4. А есть такое замечательное свойство, что высота у подобных треугольников отличается на коэффициент подобия. А так как искомая величина - площадь = основание*высоту/2 то при перемножении коэффициент подобия перемножится и составит 1/16. Таким образом, площадь маленького отсеченного треугольника составит 1/16 от большого. Трапеция при этом - оставшаяся часть = 15/16=30. Отсюда следует, что 1/16 = 2.
Подставив вместо р и r, получим
Упрощать здесь не буду, но напишу упрощенный
Или имеем такое равенство:
Пусть
Достаточно доказать неравентсво