Трапеция ABCD вписана в окружность (AD II BC), AB=13, BC=7, периметр 50. Найти: 1. CD и AD ; 2.среднюю линию трапеции ; 3. Площадь трапеции ; 4. tg∠BAD ; 5.cos ∠BCD ; 6.AC ; 7.радиус вписанной окружности ; 8.радиус описанной окружности.
Объяснение:
1) Описать окружность можно только около равнобедренной трапеции ⇒ CD=13 , Тогда AD=50-(2*13+7)=17.
2)Средняя линия равна полусумме оснований : .
3) S (трапеции) =1/2*h*(a+b) .Отложим от точки D отрезок DK=BC. Тогда S (трапеции) =S (ΔАВК) , т.к высоты этих фигур равны .
Пусть ВН⊥АD, АН= = 5 . Из ΔАВН , по т. Пифагора
ВН=√(13²-5²)= √( (13+5)(13-5))=√(18*8)=12 .
S (трапеции)=1/2*12*(17+7)=144 (ед²).
4) ΔАВН-прямоугольный, tg∠BAD= , tg∠BAD= , tg∠BAD=2,4 .
5) cos∠BCD= cos∠ABC, тк углы при основании равны.
cos∠ABC=cos(90°+∠АВН) =( по формулам приведения)=- sin∠ABН
Из ΔАВН, sin∠ABН = , sin∠ABН = . Получаем cos∠BCD=- .
6) ΔАВС , по т. косинусов АС²=АВ²+ВС²-2*АВ*ВС*cos∠ABC,
AC²=169+49-2*13*7*( - ) , AC²=218+70 , AC²=288 , AC=12√2.
7) Из формулы S=1/2*P*r , r=(2*S)/P . r= , r =5,76
8) Радиус описанной окружности для трапеции совпадает с радиусом описанной окружности для ΔАВС. Найдем R для ΔАВC по т. синусов
=2R , =2R .
sin∠ABC=sin(90+∠ABH)=( по формулам приведения) =сos∠ABH.
ΔABH , сos∠ABH= , сos∠ABH= .Поэтому sin∠ABC= .
2R = , R=6,5√2 .
Треугольник остроугольный => высоты пересекаются внутри треугольника.
Пусть угол BAK равен alfa, тогда из прямоугольного треугольника ABK: угол ABK = 90 - alfa
Пусть угол ABC равен beta, тогда из прямоугольного треугольника ABH: угол HAB = 90 - beta
Из рассмотрения треугольника ABM: сумма углов равна 180 градусов;
AMB + MAB + MBA = 180
105 + (90-alfa) + (90-beta) = 180
Отсюда alfa + beta = 105 (град)
Сумма углов треугольника ABC равна 180 градусов, тогда
угол ACB = 180 - (ABC+BAC) = 180 - (alfa+beta) = 180 - 105 = 75 (град)
Тогда угол AOB = 2 * ACB = 150 град (O — центр окружности; A, B, C лежат на ней)
Далее, треугольник ABO — равнобедренный (AO и BO — радиусы одной окружности) , поэтому углы при основании равны:
OAB = ABO = (1/2) * (180 - AOB) = (180-150)/2 = 15 (градусов) .
ОТВЕТ: угол ABO = 15 градусов.
Трапеция ABCD вписана в окружность (AD II BC), AB=13, BC=7, периметр 50. Найти: 1. CD и AD ; 2.среднюю линию трапеции ; 3. Площадь трапеции ; 4. tg∠BAD ; 5.cos ∠BCD ; 6.AC ; 7.радиус вписанной окружности ; 8.радиус описанной окружности.
Объяснение:
1) Описать окружность можно только около равнобедренной трапеции ⇒ CD=13 , Тогда AD=50-(2*13+7)=17.
2)Средняя линия равна полусумме оснований :
.
3) S (трапеции) =1/2*h*(a+b) .Отложим от точки D отрезок DK=BC. Тогда S (трапеции) =S (ΔАВК) , т.к высоты этих фигур равны .
Пусть ВН⊥АD, АН=
= 5 . Из ΔАВН , по т. Пифагора
ВН=√(13²-5²)= √( (13+5)(13-5))=√(18*8)=12 .
S (трапеции)=1/2*12*(17+7)=144 (ед²).
4) ΔАВН-прямоугольный, tg∠BAD=
, tg∠BAD= 
, tg∠BAD=2,4 .
5) cos∠BCD= cos∠ABC, тк углы при основании равны.
cos∠ABC=cos(90°+∠АВН) =( по формулам приведения)=- sin∠ABН
Из ΔАВН, sin∠ABН =
, sin∠ABН =
. Получаем cos∠BCD=- 
.
6) ΔАВС , по т. косинусов АС²=АВ²+ВС²-2*АВ*ВС*cos∠ABC,
AC²=169+49-2*13*7*( -
) , AC²=218+70 , AC²=288 , AC=12√2.
7) Из формулы S=1/2*P*r , r=(2*S)/P . r=
, r =5,76
8) Радиус описанной окружности для трапеции совпадает с радиусом описанной окружности для ΔАВС. Найдем R для ΔАВC по т. синусов
sin∠ABC=sin(90+∠ABH)=( по формулам приведения) =сos∠ABH.
ΔABH , сos∠ABH=
, сos∠ABH=
.Поэтому sin∠ABC= 
.
2R =
, R=6,5√2 .
Треугольник остроугольный => высоты пересекаются внутри треугольника.
Пусть угол BAK равен alfa, тогда из прямоугольного треугольника ABK: угол ABK = 90 - alfa
Пусть угол ABC равен beta, тогда из прямоугольного треугольника ABH: угол HAB = 90 - beta
Из рассмотрения треугольника ABM: сумма углов равна 180 градусов;
AMB + MAB + MBA = 180
105 + (90-alfa) + (90-beta) = 180
Отсюда alfa + beta = 105 (град)
Сумма углов треугольника ABC равна 180 градусов, тогда
угол ACB = 180 - (ABC+BAC) = 180 - (alfa+beta) = 180 - 105 = 75 (град)
Тогда угол AOB = 2 * ACB = 150 град (O — центр окружности; A, B, C лежат на ней)
Далее, треугольник ABO — равнобедренный (AO и BO — радиусы одной окружности) , поэтому углы при основании равны:
OAB = ABO = (1/2) * (180 - AOB) = (180-150)/2 = 15 (градусов) .
ОТВЕТ: угол ABO = 15 градусов.