Для больше наглядности вершины тр-ка отметим так: внизу слева направо точки B и C, а вверху - A. AA1 перпенд BC; СС1 перпенд AB; H - точка пересечения высот. Треугольники AC1H и HA1C - прямоугольные. У них при вершине H углы равны, как вертикальные. Значит эти прямоугольные треугольники подобны по равному острому углу. Введем обозначения угол AHC1=углу A1HC=α. Тогда угол C1AH=равен углу A1CH=β. По условию AH=HA1. Пусть AH=HA1=x CH:HC1=2:1. Пусть HC1=y, тогда CH=2y Из подобия тр-ков запишем пропорциональность соответственных сторон: Соответственные стороны - это стороны, лежащие напротив равных углов AH:HC=C1H:A1H⇒x:2y=y:x⇒x^2=2y^2⇒x=y√2⇒AH=A1H=y√2 Рассмотрим прямоугольный тр-ник HA1C: A1C^2=CH^2-A1H^2=(2y)^2-x^2=4y^2-2y^2=2y^2 Итак, A1C^2=2y^2⇒A1C=y√2⇒A1H=A1C=y√2, т.е. тр-ник HA1C - равнобедренный⇒угол HCA1 или угол C1CB равен 45 градусов⇒ угол B равен 90 минус угол C1CB; угол B=90-45=45 градусов ответ: 45
Согласно условию, углы треугольника будут выражаться следующим образом: α, α+β, α+2β где β - разность арифметической прогрессии. По свойству углов треугольника α+(α+β)+(α+2β)=180° 3α+3β=180° α+β=60° Стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию с разностью d. Тогда их величины составляют: a, b=a+d, c=a+2d По теореме косинусов b²=a²+c²-2ac cos60° (a+d)²=a²+(a+2d)²-2a(a+2d)*0.5 a²+2ad+d²=a²+a²+4ad+4d²-a²-2ad 2ad+d²=4ad+4d²-2ad d²=4d² Это равенство справедливо лишь при d=0. Т.е. разность арифметической прогрессии равна 0, а это значит, что все стороны треугольника равны. Треугольник равносторонний. В свою очередь, это означает, что все углы треугольника одинаковы и равны 60° ответ: 60°, 60°, 60°
внизу слева направо точки B и C, а вверху - A.
AA1 перпенд BC; СС1 перпенд AB; H - точка пересечения высот.
Треугольники AC1H и HA1C - прямоугольные. У них при вершине H углы равны, как вертикальные. Значит эти прямоугольные треугольники подобны по равному острому углу.
Введем обозначения угол AHC1=углу A1HC=α. Тогда угол C1AH=равен
углу A1CH=β.
По условию AH=HA1. Пусть AH=HA1=x
CH:HC1=2:1. Пусть HC1=y, тогда CH=2y
Из подобия тр-ков запишем пропорциональность соответственных сторон:
Соответственные стороны - это стороны, лежащие напротив равных углов
AH:HC=C1H:A1H⇒x:2y=y:x⇒x^2=2y^2⇒x=y√2⇒AH=A1H=y√2
Рассмотрим прямоугольный тр-ник HA1C:
A1C^2=CH^2-A1H^2=(2y)^2-x^2=4y^2-2y^2=2y^2
Итак, A1C^2=2y^2⇒A1C=y√2⇒A1H=A1C=y√2, т.е. тр-ник HA1C - равнобедренный⇒угол HCA1 или угол C1CB равен 45 градусов⇒
угол B равен 90 минус угол C1CB; угол B=90-45=45 градусов
ответ: 45
α, α+β, α+2β
где β - разность арифметической прогрессии.
По свойству углов треугольника
α+(α+β)+(α+2β)=180°
3α+3β=180°
α+β=60°
Стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию с разностью d. Тогда их величины составляют:
a, b=a+d, c=a+2d
По теореме косинусов
b²=a²+c²-2ac cos60°
(a+d)²=a²+(a+2d)²-2a(a+2d)*0.5
a²+2ad+d²=a²+a²+4ad+4d²-a²-2ad
2ad+d²=4ad+4d²-2ad
d²=4d²
Это равенство справедливо лишь при d=0. Т.е. разность арифметической прогрессии равна 0, а это значит, что все стороны треугольника равны. Треугольник равносторонний. В свою очередь, это означает, что все углы треугольника одинаковы и равны 60°
ответ: 60°, 60°, 60°