Угол между медианой и высотой равен 7x, а два других угла в тройке при вершине - по 4x. Тогда два других угла треугольника равны 90° - 4x и 90° - 11x; Если обозначить медиану m, а обе половинки стороны, к которой она проведена, буквой c (то есть вся сторона равна 2c), то из теоремы синусов для обоих треугольников, на которые медиана делит исходный треугольник, следует m/c = sin(90° - 4x)/sin(11x) = cos(4x)/sin(11x); m/c = sin(90° - 11x)/sin(4x) = cos(11x)/sin(4x); откуда сразу следует sin(8x) = sin(22x); или sin(7x)*cos(15x) = 0; легко видеть, что по смыслу задачи 7x < 180°; то есть sin(7x) не равен 0; то есть остается cos(15x) =0; опять таки, по смыслу задачи, весь угол при вершине, из которой выходят высота и медиана, как раз и равен 15x; единственное осмысленное решение, таким образом, соответствует случаю, когда этот угол прямой - только в этом случае косинус угла равен 0; более старшие решения геометрически невозможны. отсюда x = 6; и углы треугольника 90; 24; 66;
Из правильного треугольника АВС: из теоремы Пифагора: высота ВК равна 3 корня из 2. Угол ОАК - это угол между плоскостью АОС и основанием. Поскольку угол ОАК = 30 градусов, то катет ОК равен гипотенузы ОА как катет, который лежит против угла 30 градусов. ОК = ОА/2. Пускай ОК = х, тогда ОА = 2х. Из прямоугольного треугольника ОАК: за теоремой Пифагора: OA^2 = OK^2 + AK^2, 4x^2 = 9 - x^2, 3x^2 = 9, x^2 = 3, x = корень из 3. OK = корень из 3. Объем призмы равен площади основания умножить на высоту: S = So*H = S(ABC)*OK = BK*AC/2*OK = 9 корней из 6.
Если обозначить медиану m, а обе половинки стороны, к которой она проведена, буквой c (то есть вся сторона равна 2c), то из теоремы синусов для обоих треугольников, на которые медиана делит исходный треугольник, следует
m/c = sin(90° - 4x)/sin(11x) = cos(4x)/sin(11x);
m/c = sin(90° - 11x)/sin(4x) = cos(11x)/sin(4x);
откуда сразу следует sin(8x) = sin(22x); или sin(7x)*cos(15x) = 0;
легко видеть, что по смыслу задачи 7x < 180°; то есть sin(7x) не равен 0;
то есть остается cos(15x) =0;
опять таки, по смыслу задачи, весь угол при вершине, из которой выходят высота и медиана, как раз и равен 15x; единственное осмысленное решение, таким образом, соответствует случаю, когда этот угол прямой - только в этом случае косинус угла равен 0; более старшие решения геометрически невозможны.
отсюда x = 6; и углы треугольника 90; 24; 66;