Дан треугольник авс со сторонами ав=5,вс=9,ас=10докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения медиан и центр вписанной окружности, параллельна вс.(егэ профиль - #16)

Точка О2 - центр вписанной окружности в  тр-ник АВС. Точка О1 - центр заданной окружности. 
Около тр-ка АВС опишем окружность.
АО2, ВО2 и СО2 - биссектрисы соответствующих углов.
Продолжим отрезок СО2 до пересечения его с описанной окружностью в некой точке К. 
∠АО2К=∠А/2+∠С/2, т.к. ∠АО2К является внешним к тр-ку АСО2.
∠ВАК=АВК=∠С/2, т.к. оба опираются на те же дуги, на которые опираются равные углы из вершины тр-ка АВС. КА=КВ по этой же причине.
Заметим, что в тр-ке АКО2 ∠КАО2=∠АО2К, значит он равнобедренный.
КА=КО2=КВ, значит точка К - центр описанной около тр-ка АВО2 окружности.
Тр-ник АВС - равнобедренный. В нём СМ - биссектриса и высота. В прямоугольном тр-ке АСМ ∠А+∠С=90°. Заметим, что и  в тр-ке АСК ∠САК=90°, значит ∠CВК=90°. СА и CВ - касательные к окружности с центром в точке К. Точки А и В лежат на этой окружности. Но СА и CВ - касательные к заданной окружности, значит точки К и О1 совпадают. 
О1О2 - радиус заданной окружности, значит центр вписанной в тр-ник АВС окружности лежит на данной окружности.
Доказано.

Пусть из точки А провели две наклонные АВ и АС  к прямой а. Расстояние от точки А до прямой а=ВС равно 16 см , тогда длина перпендикуляра АН, опущенного из точки А на прямую ВС = 16 см.
Так как наклонные образуют углы в  30° и в 60°, то пусть ∠АВС=60°,
а ∠АСВ= 30°. 
Треугольник АВС получится прямоугольным, т.к. ∠А=180°-30°-60°=90°.
Рассм. ΔАВН: ∠АНВ=90°, АН=16 см,  
  Наклонная АВ=АН:sin∠АВН=16:sin60°=16:(√3/2)=32:√3=(32√3)/3 .
  Проекция наклонной АВ равна ВН.
         BH=AH:tg60°=16:√3=(16√3)/3 .
Рассм. ΔАСН:  ∠АНС=90° , АН=16 см,
  Наклонная  АС=АН:sin30°=16:(1/2)=32 /
  Проекция наклонной АС равна СН.
            СН=АН:tg30°=16:(√3/3)=(16*3):√3=16√3