Дана треугольная пирамида DABC. Известно, что ребро DA перпендикулярно плоскости ABC, треугольник ABC — равносторонний, AD= 8 и AB= 22. 1. Начерти двугранный угол при ребре BC;
2. вычисли тангенс данного двугранного угла.
ответ: тангенс угла равен
−−−−−√ (перед вводом значения дробь не сокращай).

Два возможных случая:

1)

2)

Объяснение:

Т.к. треугольник равнобедренный, то по определению имеет 2 равные боковые стороны.

Случай 1. Пусть основание меньше боковой стороны, тогда основание = x, а боковые стороны x + 12. Периметр - это сумма всех сторон, так что составим уравнение:

x + (x+12) + (x+12) = 76

3x + 24 = 76

3x = 76 -24

3x = 52

x = 52: 3 =  - основание, значит боковая сторона = x + 12 =

Случай 2. Пусть основание больше боковой стороны, тогда основание = x, а боковые стороны x - 12.

Составляем уравнение

x + (x-12) + (x-12) = 76

3x - 24 = 76

3x = 76 + 24

3x = 100

x = 100:3 = , ⇒ боковая сторона = x - 12 =

1. KA - перпендикуляр к плоскости треугольника ABC. Известно, КВ⊥BC.

а) докажите, что треугольник ABC - прямоугольный.

б) докажите, перпендикулярность плоскостей KAC и ABC.

в) найдите KA, если AC = 13 см, BC = 5 см, ∠KBA = 45°.

а) КВ - наклонная к плоскости ΔАВС, АВ - ее проекция, так как КВ⊥ВС, то и АВ⊥ВС по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах. Значит ΔАВС прямоугольный.

б) КА⊥(АВС), КА⊂(КАС), ⇒ (КАС)⊥(АВС), так как если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то плоскости перпендикулярны.

в) Из прямоугольного треугольника АВС по теореме Пифагора:

АВ = √(АС² - ВС²) = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12 см

ΔКАВ прямоугольный с углом 45°, значит равнобедренный,

КА = АВ = 12 см

2. ВО⊥α. ВО - искомое расстояние от точки В до плоскости α.

Пусть Н - середина АС.  Треугольник АВС равнобедренный, значит ВН - медиана и высота треугольника.

ВН⊥АС, ОН - проекция ВН на плоскость α, значит ОН⊥АС по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах. Значит

∠ВНО = 30° - линейный угол двугранного угла между плоскостями АВС и α.

ΔАВН: ∠АНВ = 90°, по теореме Пифагора:

            ВН = √(АВ² - АН²) = √(20² - 12²) = √(400 - 144) = √256 = 16 см

ΔВОН: ∠ВОН = 90°,

            ВО = ВН/2 = 8 см по свойству катета, лежащего напротив угла в 30°.

3. АО⊥α.

ОВ и ОС - проекции наклонных на плоскость α.

∠АВО = ∠АСО - углы, образованные наклонными с плоскостью α.

ΔАОВ = ΔАОС по катету и противолежащему острому углу (АО - общий катет, ∠АВО = ∠АСО по условию), значит

АВ = АС, а так как АВ = ВС по условию, то треугольник АВС равносторонний.

Углы ΔАВС равны 60°.