Дано рівнобедрений трикутник АDC з основою AC. На продовженні його медіани BD за точкою D позначено точку К . Доведіть що трикутник АKC рівнобедрений .​

Обязательно смотрим рисунок.

И примем во внимание, что получающиеся трапеции подобны не исходной.

Если трапеции ALFD и LBCF подобны, то a/LF = LF/b.

Отсюда LF = √(ab).

Таким образом, отрезок разбивающий трапецию на две подобные трапеции, имеет длину равную среднему геометрическому длин оснований.

---

Делим трапецию:

1 отрезок между основаниями исходной:
х²=2*8=16
х=√16=4

Второй отрезок между первым и основанием исходной трапеции 
у²=4*8=32
у =√32=4√2

Третий отрезок - идет под меньшим основанием 
z²=2*4=8
z=2√2

---------------------------

Отрезки в рисунке идут в таком порядке 

z, x, y 

---------------

Коэффициент подобия между этими четырьмя трапециями попарно ( смежными) равен

4:2√2=2:√2=2√2:√2·√2=2√2:2=√2

k=√2

Площади подобных фигур относяся как квадрат коэффициента их подобия.

Для этих трапеций это

(√2)²=2
Площадь второй по величине относится к нижней -большей- как 1:2=1/2
Третьей ко второй 1/2:2=1/4
и последней
1/8
сложим площади
1/2+1/4+1/8 =( 4+2+1)/8=7/8 

 7/8 < 1 
Площадь самой большой из этих четырёх трапеций больше суммы площадей остальных трёх

1) Так как в задании не указано конкретное ребро, то приводим расчёт длин всех рёбер.

Например, АВ = √((хВ - хА)² + (yB - yA)² + (zB - zA)²).

Остальные аналогично.

Векторы  Δx  Δy  Δz  Сум.квадр.  Длины

      АВ  4   -6    4     68       8,246211251

      ВС 0    5   -2     29      5,385164807

      АС 4   -1   2     21      4,582575695

     АД 3    2    7    62      7,874007874

    ВД -1   8    3     74      8,602325267

    СД -1   3   5     35      5,916079783 .

2) Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA y - yA z - zA

xB - xA yB - yA zB - zA

xC - xA yC - yA zC - zA

 = 0  

Подставим данные и упростим выражение:

x - 0    y - 7       z - 1

4 - 0 1 - 7        5 - 1

4 - 0 6 - 7       3 - 1

 = 0

x - 0       y - 7     z - 1

4      -6      4

4       -1      2

 = 0

(x - 0)  -6·2 - 4·(-1)  -  (y - 4)·2 - 4·4  +  (z - 4)·(-1) - (-6)·4  = 0 ,

(-8) x - 0  + 8 y - 7  + 20 z - 1  = 0 ,

 - 8x + 8y + 20z - 76 = 0 ,    разделим на (-4),

2x - 2y - 5z + 19 = 0.

3) Прямая, проходящая через точку Д и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C).

(x -3)/2 = (y - 9)/(-2) = (z - 8)/(-5).

4) Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения AB x AC:

Векторное произведение:

i j k

4 -6 4

4 -1 2   =

=i((-6)·2-(-1)·4) - j(4·2-4·4) + k(4·(-1)-4·(-6)) = -8i + 8j + 20k

S = (1/2)√((-8)² + 8² + 20²) = (1/2)√528 ≈ 11,489.

5) V = (1/6)*(AB x AC) * AD.

Определитель матрицы равен:

∆ = 4*((-1)*7-2*2)-4*((-6)*7-2*4)+3*((-6)*2-(-1)*4) = 132.

Тогда V = 132/6 = 22 куб.ед.