Даны длины высот треугольника, опущенных из вершин a и b, и длина биссектрисы угла c . найти угол c.

хорошая задачка, побольше бы таких.

Пусть основание биссектрисы M, длина L, и пусть высота ha из А к стороне СВ (основание обозначим N), высота hb из В к стороне СА. (Внимание! - ha и hb - НЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ! это просто обозначения высот. Все произведения отмечены *) 

Тогда АВ = АМ + МВ; АМ/МB = СА/СВ; МВ = АВ/(1+СА/СВ);

СА = 2*S/hb; CB = 2*S/ha; S - площадь треугольника АВС.

СА/СВ = ha/hb; МВ = АВ/(1 + ha/hb);

Осталось провести препендикуляр из точки М на сторону СВ, пусть его основание на СВ - Р. Из подобия прямоугольных треугольников PMB и ANB следует

МР/АN = MB/AB; MP = ha/(1+ha/hb) = ha*hb/(ha + hb);

sin(C/2) = MP/CM = (1/L)*ha*hb/(ha + hb);

Это - ответ, смысла его как-то преобразовывать нет.