диагонали выпуклого четырехугольника взаимно перпендикулярны. докажите, что отрезки ,соединяющие середины противоположных сторон в четырехугольника равны.

Для решения этой задачи необходимо построить серединный перпендикуляр к отрезку АС, ведь точки серединного перпендикуляра обладают свойством: любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.
Для построения серединного перпендикуляра надо:
построить две окружности - с центром в точке А и с центром в точке С, произвольного радиуса, но больше половины длины отрезка АС;
у этих окружностей найти точки пересечения - К и М;
Через точки пересечения окружностей провести прямую а. 
Эта прямая - серединный перпендикуляр.
Затем этот серединный перпендикуляр надо продлить до пересечения со стороной ВС. Точка пересечения серединного перпендикуляра и стороны ВС - искомая точка (на чертеже это точка О). 
Обратите внимание, в зависимости от треугольника задача может и не иметь решение. На первом чертеже точка О лежит на стороне ВС - задача имеет решение, на втором чертеже точка О не лежит на стороне ВС, а находится на продолжении этой стороны, на третьем такую точку совсем не построить.
В этой задаче необходимо провести исследование и выяснить, когда задача имеет решение.

Основанием данной пирамиды является правильный треугольник, а вершина пирамиды проецируется в его центр ( общую точку пересечения высот, биссектрис, медиан).
Обозначим пирамиду МАВС.
Высота МО=8 см, ребра равны 10 см.
Проведем СН⊥АВ⇒ ВН=АН
Из ∆ ВОМ катет ВО=6 см ( египетский треугольник)
В ∆ ВОН угол ОВН=30°, ⇒ ВН=ВО•cos30°=3√3.
АВ=2•ВН=6√3
Из ∆ ВМН апофема МН=√(BM²-BH²)=√(100-27)=√73
Ѕ(бок)=3•Ѕ(АВМ)=3•МН•АВ÷2=3•(√73)•3√3=133,1878
Ѕ(АВС)=0,5•AB²•sin60°=18•3•√3:2=27√3=46,7654
Ѕ (полн)=9•√219)+27√3=179,953 см²