Доказать, что треугольник построенный из медиан данного треугольника имеет площадь равную 3/4 площади данного треугольника.

Пусть стороны треугольника равны a,b и c, a медианы  ma, mb и mc.

Выразим медианы треугольника через их стороны. Будем иметь

    ma=sqrt((2b^2+2c^2-a^2)/4)

    mb=sqrt((2a^2+2c^2-b^2)/4)

    mc=sqrt((2a^2+2b^2-c^2)/4)

Возведем правые и левые части этих равенств в квадрат

   ma^2=(2b^2+2c^2-a^2)/4

   mb^2=(2a^2+2c^2-b^2)/4

   mc^2=(2a^2+2b^2-c^2)/4

сложим правые и левые части этих равенств

   ma^2+mb^2+mc^2=(2b^2+2c^2-a^2)/4 + (2a^2+2c^2-b^2)/4 + (2a^2+2b^2-c^2)/4 = (3/4)*(a^2+b^2+c^2)

что и следовало доказать